¿$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$

Question

Esto puede ser una pregunta obvia, pero no estoy para pensar bien, gracias

La respuesta debe ser no

Answer 1

Por supuesto que no ! Tomemos por ejemplo $$f(x,y)=x,$$ entonces $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2=1,$$ pero $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0.$$

Answer 2

Como otros han señalado, nope. Pero vamos a explorar para que funciones es cierto. Si la función no es lineal, tiene una segunda derivada que no es siempre cero, por lo que el primer paso aquí es válido. (Y si la función es lineal, podemos averiguar que tendría que ser una función constante.)

$$ \begin{align} \frac{\partial^2f}{\partial x^2} &=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2\\ \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{-2}\frac{\partial^2f}{\partial x^2} &=1&\text{anitdifferntiate on both sides}\\ -\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{-1} &=x+C_1\\ \frac{\partial f}{\partial x} &=\frac{-1}{x+C_1}&\text{anitdifferntiate on both sides}\\ f(x)&=-\ln\left|x+C_1\right|+C_2(x) \end{align} $$ donde $C_2$ es alguna función que es un valor constante en $\left(-C_1,\infty\right)$ y un posible diferente valor constante en $\left(-\infty,-C_1\right)$. También se podría escribir como $$f(x)=-\ln\left|x+C\right|+D\frac{x}{|x|}+E$$

Answer 3

Por supuesto que no. Elija cualquier función que le gusta y trabajar el lado derecho y el lado izquierdo, y se le almsot siempre obtener dos soluciones diferentes.

Answer 4

Esto no es cierto. Para ver esto, consideremos un ejemplo (hay más simples ejemplos...) $$ f(x,y) = x^2y^2 $$ Entonces $$ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^2 \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2y^2. $$ Y $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 = (2xy^2)^2 = 4x^2y^4. $$

Answer 5

No. Deje $f(x,y)=x$. La verificación es la izquierda.