Raíz cuadrada de ambos lados

Question

Si tienes la ecuación: $x^2=2$ Lo tienes: $x=\pm \sqrt{2}$

Pero, ¿qué es lo que hace realmente? ¿Con qué multiplicas ambos lados para obtener esta respuesta? Tomas la raíz cuadrada de ambos lados, pero ¿la raíz cuadrada de qué? ¿Si entiendes lo que quiero decir?

Answer 1

Como $2=\left(\sqrt 2\right)^2$ podemos transformar $x^2=2$ en $x^2-\left(\sqrt 2\right)^2=0$ o $\left(x+\sqrt 2\right)\left(x-\sqrt 2\right)=0$ . Ahora utilizamos que un producto es cero si al menos uno de sus factores es cero.

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Alternativamente, si usted quiere proceder aplicando algo a ambos lados de la ecuación, este algo es "sacar la raíz cuadrada". De este modo $x^2=2$ implica que $\sqrt{x^2}=\sqrt 2$ . Ahora tienes que saber que $\sqrt{x^2}=|x|$ para todos los números reales $x$ .

Answer 2

La idea básica de la manipulación de ecuaciones es que "haciendo lo mismo en ambos lados" se obtendrá el mismo resultado en ambos lados porque se comenzó con la misma entrada en ambos lados - que las entradas eran las mismas es precisamente lo que decía la ecuación original. Sin embargo, esta propiedad de que cada entrada dé siempre el mismo resultado no es un hecho, por lo que es importante asegurarse de que lo que se está haciendo a cada lado realmente tiene esta propiedad. En otras palabras, tiene que ser una función.

Eso está muy bien para algo como "sumar 3", es decir $f(x)=x+3$ ya que es una función que está definida para todos los números reales, pero sacar la raíz cuadrada requiere un poco más de cuidado para precisar la función exacta que queremos aplicar a ambos lados. Podemos tomar la raíz cuadrada positiva, lo que resulta en $|x|=\sqrt 2$ pero eso no nos da del todo $x$ , ya que no sabemos si $x$ es positivo o negativo. Sin embargo, sabemos que si $x$ es positivo, entonces $x=|x|=\sqrt 2$ mientras que si $x$ es negativo, entonces $x=-|x|=-\sqrt 2$ que podemos combinar en una sola expresión utilizando la función $\pm$ signo.

Así que, en resumen, al resolver $x^2=2$ En realidad, estás resolviendo dos casos distintos y combinándolos en una sola expresión.

Answer 3

No se "multiplica" por nada. Una forma de verlo es que la igualdad se puede escribir como $x^2-2=0$ Así que $$ (x-\sqrt2)(x+\sqrt2)=0. $$ Para que el producto sea cero, al menos uno de los factores tiene que ser cero, por lo que $x=\sqrt2$ o $x=-\sqrt2$ .

Answer 4

$$x^2=2 \Rightarrow \begin{cases}y=x^2\\y=2 \end{cases}$$

Answer 5

El teorema correspondiente es

Si $x$ denota un número real y $y$ denota un número real no negativo, entonces lo siguiente es equivalente:

• $x^2 = y$
• $x = \sqrt{y}$ o $x = -\sqrt{y}$

Normalmente, la gente intuye este teorema a través de la experiencia y/o la mímica, y lo está invocando implícitamente cada vez que realiza un paso algebraico como ese.

No es terriblemente difícil de demostrar si se dan otros hechos suficientes, como muestran las otras respuestas.