Diferentes métodos para encontrar el mínimo de $|x-2y|$ al $x^2+1=2y^2$.

Question

Para $x, y \in \Bbb R$, $x^2 + 1 = 2y^2$, encontrar el mínimo de $|x - 2y|$.

En un vistazo he encontrado que el punto de $(x, y)$ se encuentra en una hipérbola y $|x - 2y|$ es sólo la distancia entre el punto y la línea $x - 2y = 0$ veces $\sqrt 5$. Ahora este problema se puede resolver mediante el uso de derivados.

Mi pregunta es: ¿hay otras soluciones? Quiero encontrar alguna otra hermosa soluciones a este problema interesante. Todos los métodos son aceptados siempre y cuando que sean rigurosas.

Answer 1

Los cálculos nos dan $$(x-2y)^2=2(x-y)^2+1 \ge 1$$

Así tenemos $$|x-2y| \ge 1$$ With the equality holding when $x=y=\pm 1$.

Answer 2

Tenemos $$2y^2-x^2=1$$

WLOG $\sqrt2y=\sec2t,x=\tan2t$

$$u=x-2y=\dfrac{\sin2t-\sqrt2}{\cos2t}$$

$$\sqrt2=\sin2t-u\cos2t\iff\sqrt{\dfrac2{u^2+1}}=\sin\left(2t-\arccos\dfrac1{1+u^2}\right)\le1$$

$$u^2+1\ge2\iff|u|\ge1$$