La congruencia de las relaciones son útiles en álgebra universal por muchas razones. Usted ha mencionado la conexión con cuotas especificas (o "homomórfica imágenes") de la álgebra y es cierto que todo el entramado de la congruencia de las relaciones de un particular de álgebra revela todas las formas en que esta álgebra puede ser descompuesto como (subdirect) producto de la menor (cociente) álgebras.
También sugirió que la "congruencia relación" es básicamente una técnica que nos permite incluir el poset de cocientes de a $X$ en el poset de subalgebras de $X^2$. Bien, pero ¿cómo ayuda esto a nosotros?"
Es cierto que hay una correspondencia uno a uno entre el homomórfica imágenes (o coeficientes) y la congruencia de las relaciones, por lo que el poset de cocientes puede ser identificado con el de la congruencia de celosía, que es un sublattice de $X^2$. ¿Cómo ayuda esto a nosotros? Una forma de hacerlo es considerar la forma de la congruencia de celosía, que a menudo proporciona información valiosa sobre el álgebra.
Hay una profunda teoría de la congruencia de celosías y lo que nos dicen sobre el subyacente de álgebras. Probablemente la mejor referencia para esta teoría es La Forma de la Congruencia de Celosías, por Kearnes y un Beso.
El poder real de la congruencia de las relaciones en la caracterización de toda variedades (ecuacional clases de álgebras de acuerdo a las propiedades de la congruencia de las rejillas de álgebras en la variedad. Se sabe mucho acerca de la "congruencia distributiva" (CD) de las variedades, así como la congruencia permutable (CP) y la congruencia modular (CM) de las variedades, a nombre de un par de clases de variedades que han sido ampliamente estudiados.
Una variedad es CD (CM) si todos los álgebra en la variedad tiene un distributiva (modular) la congruencia de la celosía. Una variedad es CP si cada par, $\theta, \phi$, de congruencias en cada álgebra en la variedad permutes, que es, $\theta \circ \phi = \phi \circ \theta$ donde $\circ$ denota la habitual relación de composición.
La monografía de Kearnes y Beso mencionado anteriormente es bastante avanzada. Un buen tratamiento moderno de la teoría elemental es Acantilado Bergman del libro. Como alternativa, busque aquí para el fondo básicos de álgebra universal.
Para tomar un ejemplo sencillo, supongamos que usted tiene un álgebra $A$ y encontrará que todas las congruencias de $A$ permutar el uno con el otro. (Ya que esto puede ser útil para determinar si ciertos subdirect productos son en realidad directa de los productos). Usted puede, a continuación, desea comprobar si toda la variedad generada por $A$ es la congruencia permutable. Si es así, entonces usted sabe que hay un ternario función de $m(x,y,z)$, construido a partir de las operaciones de $A$ y, posiblemente, las proyecciones, que satisface la ecuación de $m(x,y,y) = x = m(y,y,x)$ todos los $x, y \in A$. Tales funciones se llaman "Malcev términos." Tener un Malcev plazo alrededor puede ser muy útil y puede hacer que sea posible, o al menos más fácil, para probar cosas acerca de un álgebra o la variedad de álgebras.
Ejemplos de pruebas que se aprovechan de las propiedades de la congruencia de celosías abundan en la literatura. Además de la Kearnes y Beso monografía se mencionó anteriormente, algunos buenos ejemplos son en el papel en 2009 por Freese y Valeriote. Que papel tiene importantes aplicaciones prácticas, y algunos de los algoritmos que usamos para calcular y determinar las propiedades de, finito álgebras no fueron computacionalmente factible antes de que los resultados en Freese y Valeriote.
