¿Qué podemos hacer realmente con las relaciones de congruencia, específicamente?

Question

Sea $T$ un conjunto de Leyvere y $X$ un $T$-álgebra.

Bajo mis definiciones preferidas:

• Una subálgebra de $X$ consiste en un $T$-álgebra $Y$ junto con un homomorfismo inyectivo $Y \rightarrow X$.
• Un cociente de $X$ consiste en un $T$-álgebra $Y$ junto con un homomorfismo sobreyectivo $X \rightarrow Y>.

También:

• Una congruencia en $X$ es una subálgebra de $X^2$ que resulta ser una relación de equivalencia.

Ahora resulta que podemos ir y venir entre congruencias relaciones y objetos cocientes. Así que "relación de congruencia" es básicamente una técnica que nos permite incluir el poset de cocientes de $X$ en el poset de subálgebras de $X^2$. Bien, pero ¿cómo nos ayuda esto? ¿Qué podemos realmente hacer con esta inclusión?

Pregunta. ¿Cuáles son algunos ejemplos específicos de cosas que se pueden hacer con relaciones de congruencia, que serían muy difíciles o incluso imposibles de hacer sin ellas?

Por ejemplo, una cosa que podemos hacer es "retrotraer" cualquier predicado definido en subálgebras de $X^2$ para obtener un predicado en los cocientes de $X$. Sin embargo, una buena respuesta debería ser más específica que esto; me gustaría ejemplos específicos de dónde se hace esto y por qué es importante.

Answer 1

Las relaciones de congruencia son útiles en el álgebra universal por muchas razones. Mencionaste la conexión con los cocientes específicos (o "imágenes homomórficas") del álgebra y es cierto que todo el retículo de relaciones de congruencia de un álgebra particular revela todas las formas en que este álgebra puede descomponerse como un producto (subdirecto) de álgebras más pequeñas (cociente).

También sugeriste que "'relación de congruencia' es básicamente una técnica que nos permite incluir el conjunto de cocientes de $X$ en el conjunto de subálgebras de $X^2$. De acuerdo, pero ¿cómo nos ayuda esto?"

Es cierto que hay una correspondencia biunívoca entre las imágenes homomórficas (o cocientes) y las relaciones de congruencia, por lo que el conjunto de cocientes se puede identificar con el retículo de congruencia, que es un subretículo de $X^2$. ¿Cómo nos ayuda esto? Una forma es considerar la forma del retículo de congruencia, que a menudo proporciona información valiosa sobre el álgebra.

Existe una teoría profunda de retículos de congruencia y lo que nos dicen sobre los álgebras subyacentes. Probablemente la mejor referencia para esta teoría sea The Shape of Congruence Lattices, de Kearnes y Kiss.

El verdadero poder de las relaciones de congruencia está en caracterizar variedades completas (clases de ecuaciones) de álgebras según las propiedades de los retículos de congruencia de álgebras en la variedad. Mucho se sabe sobre variedades "congruencia distributiva" (CD), así como variedades congruencia permutables (CP) y variedades congruencia modulares (CM), por nombrar algunas clases de variedades que han sido estudiadas extensamente.

Una variedad es CD (CM) si cada álgebra en la variedad tiene un retículo de congruencia distributivo (modular). Una variedad es CP si cada par, $\theta, \phi$, de congruencias en cada álgebra en la variedad permuta, es decir, $\theta \circ \phi = \phi \circ \theta$, donde $\circ$ denota la composición usual de relaciones.

El libro de Kearnes y Kiss mencionado anteriormente es bastante avanzado. Un buen tratamiento moderno de la teoría elemental es el libro de Cliff Bergman. Alternativamente, busca aquí para obtener información básica sobre álgebra universal.

Tomemos un ejemplo simple, supongamos que tienes un álgebra $A$ y descubres que todas las relaciones de congruencia de $A$ permutan entre sí. (Incluso esto puede ser útil para determinar si ciertos productos subdirectos son realmente productos directos). Entonces podrías querer verificar si toda la variedad generada por $A$ es congruencia permutable. Si es así, entonces sabes que hay una función ternaria $m(x,y,z)$, construida usando las operaciones de $A$ y posiblemente proyecciones, que satisface la ecuación $m(x,y,y) = x = m(y,y,x)$ para todo $x, y \in A$. Estas funciones se llaman "términos de Malcev". Tener un término de Malcev puede ser muy útil y puede hacer posible, o al menos más fácil, demostrar cosas sobre un álgebra o variedad de álgebras.

Los ejemplos de demostraciones que aprovechan las propiedades de los retículos de congruencia abundan en la literatura. Además del monográfico de Kearnes y Kiss mencionado anteriormente, algunos buenos ejemplos están en el artículo de 2009 de Freese y Valeriote. Ese artículo tiene importantes aplicaciones prácticas, y algunos de los algoritmos que usamos para computar y determinar propiedades de álgebras finitas no eran factibles computacionalmente antes de los resultados en Freese y Valeriote.