Todas las modelos de $\mathsf{ZFC}$ entre $V$ y $V[G]$ son extensiones genéricas de $V$

Question

Estoy leyendo la prueba del lema 15.43 del Teoría de Conjuntos de Jech:

Sea $G$ genérico en un álgebra booleana completa $B$. Si $M$ es un modelo de $\mathsf{ZFC}$ tal que $V\subset M\subset V[G]$, entonces existe una subálgebra completa $D\subset B$ tal que $M=V[D\cap G]$.

En la prueba de este teorema, el autor afirma el siguiente hecho: "Primero notamos que, dado que $M$ satisface el Axioma de Elección, para cada $X\in M$ existe un conjunto de ordinales $A_X\in M$ tal que $X\in V[A_X]."

Mi pregunta es, ¿por qué es cierto este hecho?

Gracias

Answer 1

Usando el axioma de elección $(TC(\{X\}),\in)$ se puede codificar como $(\alpha,R)$ donde $\alpha$ es un ordinal y $R\subseteq\alpha\times\alpha$. Ahora, utilizando la codificación de pares de ordinales de $V$ (o incluso de $L$) podemos reemplazar $R$ por algún $A\subseteq\alpha$ en su totalidad.

Ahora considera en $V[A]$. Podemos decodificar $R$ de nuevo a partir de $A$ porque la función de codificación estaba en $V$, así que $(\alpha,R)\in V[A]$. Ahora considera el colapso transitivo de esta estructura, tiene que ser $(TC(\{X\}),\in)$. Por lo tanto, $X\in V[A]$ también.