¿cuál es la suma de una secuencia finita?

Question

La suma es: $$\sum_{i=0}^n \binom{2i}i \binom{2n-2i}{n-i}$$ La respuesta es $4^n$. Cómo probar, y cómo pensar?

Answer 1

Sugerencia. Esta suma puede ser obtenida por un producto de Cauchy.

Recordemos que $$ \sum_{i=0}^n \binom{2i}i x^i=\frac{1}{\sqrt{1-4x}},\quad |x|<\frac14. \tag1 $$ (para una prueba, usted puede usar la generalizada del teorema del binomio). Entonces, por el producto de Cauchy:

$$ \begin{align} \left(\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}n x^n\right)^2 &=\sum_{n=0}^{\infty}\left( \sum_{i=0}^n \binom{2i}i \binom{2n-2i}{n-i}\right)x^n \end{align}, \quad |x|<\frac14 \tag2 $$ por otro lado, el uso de $(1)$: $$ \begin{align} \left(\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}n x^n\right)^2 =\frac{1}{1-4x}=\sum_{n=0}^{\infty} 4^n x^n ,\quad |x|<\frac14, \tag3 \end{align} $$ usted acaba de identificar los coeficientes en $(2)$ $(3)$ obtener su identidad.