Manera Formal para evaluar este límite

Question

He ciertas dudas acerca de la manera formal para evaluar el siguiente límite:

$$\lim_{n\to\ +\infty}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}}$$

Sé que

$$\lim_{n\to\ +\infty}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}}=e^{-1}$$

mi maestro de cálculo dice que no podemos evaluar el límite por piezas, por lo que no puede (en general) dicen que

$$\lim_{n\to\ +\infty}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}}=\lim_{n\to\ +\infty}{\left(e^{-1}\right)^{n}}=0$$ aunque en este caso la respuesta es la adecuada.

Así que estoy pidiendo de una manera formal para resolver esto, mi planteamiento es:

Decir que el límite de un producto es el producto de los límites, así que puedo decir que

$$\lim_{n\to\ +\infty}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}}=\lim_{n\to\ +\infty}{e^{n^2\ln\left(1-\frac{1}{n}\right)}}=e^{\lim_{n\to\ +\infty}{n^2\ln\left(1-\frac{1}{n}\right)}}=e^{\lim_{n\to\ +\infty}{n^2}{\lim_{n\to\ +\infty}\ln\left(1-\frac{1}{n}\right)}}=e^{\lim_{n\to\ +\infty}{-n}}=0$$

Puedo hacer esto (yo he usado la continuidad de la función exponencial) o estoy haciendo todavía el límite de piezas cuando he sustituido $ln\left(1-\frac{1}{n}\right)$$-\frac{1}{n}$?

Además, puedo usar el teorema del producto, incluso si no es la forma indeterminada $0\cdot(+\infty$)?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

No, No puede. Sin embargo, usted puede notar que, como $n\to +\infty$, $$n^2\ln\left(1-\frac{1}{n}\right)=n\ln\left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right)\to +\infty \cdot \ln(e^{-1})=-\infty.$$ Por lo tanto $$\lim_{n\to\ +\infty}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}}=\lim_{n\to\ +\infty}{e^{n^2\ln\left(1-\frac{1}{n}\right)}}=e^{-\infty}=0.$$ De otra manera. Desde $\lim_{n\to\ +\infty}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}}=e^{-1}\in (0,1/2)$, entonces, por definición de límite, no es $N$ tal que para todo $n\geq N$, $\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}<1/2$. Por lo tanto, para $n\geq N$, $$0<{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}}=\left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n<\frac{1}{2^n}.$$ A continuación, utilice el teorema del sándwich.

Answer 2

Una forma de hacerlo es mediante la comparación. Para cualquier fija $k\in \Bbb N$, tenemos $$ 0\leq \lim_{n\to \infty}\left(1-\frac 1n\right)^{n^2}\leq\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac1n\right)^{nk} = e^{-k} $$

Answer 3

El truco para hacer lo que estamos tratando de hacer es, después de hacer la sustitución, también en un factor de corrección para que salga la fórmula invariable:

$$ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n} \right)^{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left( e^{-1} \cdot \frac{\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}}{e^{-1}} \right)^n = \lim_{n \to \infty} e^{-n} \cdot \left( \frac{\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}}{e^{-1}} \right)^n \\= \lim_{n \to \infty}\left( e^{-n} \right) \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}}{e^{-1}} \right)^n $$

asumiendo, por supuesto, los límites existen y el producto está definido. Si usted puede mostrar que el segundo límite se $1$, entonces quieres calcular el límite de $\infty \cdot 1 = \infty$ y listo.

El problema, sin embargo, es que el segundo límite es una $1^{\infty}$ formulario! Y lo hace de una manera que hace que sea de manera que no puede de inmediato a determinar cuál es el valor debe ser: el valor del límite es una carrera entre lo rápido de la base de enfoques $1$ frente a cómo de rápido el exponente llega a $\infty$.

Así, no hay ningún acceso directo inmediato aquí, tienes que hacer más trabajo. De hecho, ese límite es igual a $e^{-1/2}$, por lo que el "obvio" conjeturas son, de hecho, mal!

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Usted necesita una más sofisticada aproximación a hacer algo parecido a este trabajo. La cosa más fácil de demostrar en su enfoque alternativo: la serie de Taylor para el logaritmo implica

$$ \ln(1 + x) = x + O(x^2) $$

Así, en particular,

$$\lim_{n \to \infty} n^2 \ln\left(1 - \frac{1}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} n^2 \left( -\frac{1}{n} + O(n^{-2}) \right) = \lim_{n \to\ infty} -n + O(1) = -\infty $$

Si no estás cómodo con $O$ notación, sólo podría utilizar el siguiente término de la serie de Taylor. Si pones tu mente en ello, usted debería ser capaz de obtener el valor exacto del límite

$$ \lim_{n \to \infty} n^2 \left(\ln\left(1 - \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{n} \right) $$

así que usted podría alternativamente calcular el límite cuando

$$\lim_{n \to \infty} n^2 \ln\left(1 - \frac{1}{n} \right) = \left( \lim_{n \to \infty} n^2 \left(-\frac{1}{n}\right)\right) + \left( \lim_{n \to \infty} n^2 \left( \ln\left(1 - \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{n} \right) \right) $$