La distribución de Poisson variable elegir 2

Question

Tengo un aleatoria de Poisson variable, $$X\sim Po(\lambda)$$

Además, el valor de $X$ determina el valor de $Y$: $$X=k\Rightarrow Y={k\choose{2}}= \frac{k^{2}-k}{2}$$

Supongo que no hay manera elegante de la escritura de un PMF, excepto: $$\text{Pr}\left[Y={k\choose{2}}\right]=\text{Pr}\left[X=k\right]$$

¿Qué más podemos decir acerca de la distribución de $Y$?

Supongo que los momentos son fáciles de deducir?

Gracias de antemano

Answer 1

El primer momento (es decir, la media) es bastante fácil de hacer, porque es una constante en los tiempos de la segunda factorial momento de la original de Poisson, la cual tiene una forma muy simple y es fácil derivar.

Es decir, se puede calcular el $E[X(X-1)]$ muy fácilmente y por lo $E[Y]$ es sencillo.

La varianza de $Y$ puede ser obtenida en un par de maneras, aunque hay algo que decir para considerar $E[Y(Y-2)]$ (a los que podríamos llamar la segunda doble factorial momento por analogía con el doble factorial) - o algo similar, como $E[(Y+1)(Y-1)]$ - y el ajuste que para obtener la varianza (pero se debe tener cuidado si usted toma este enfoque, es fácil dejar de lado algo). Te sugiero que, al menos, comprobar su respuesta por medio de la simulación (largish simulaciones en una variedad de valores de $\lambda$ me ayudó a ver cuando yo había cometido errores, mostrando mis primeros intentos de respuestas no podía ser correcta)

Momentos de orden superior se pueden hacer, pero son más de esfuerzo.

Podría ser posible hacer algo con la mgf, pero yo no lo he intentado.

Todos los cuantiles sigue directamente de la relación a la distribución de Poisson, como lo hace el modo.

Su fuerza está en la dirección correcta, pero puede ser un poco más formal.