Rango de yo.yo.d. normal de las variables aleatorias

Question

Deje $X_1, \dotsc, X_n$ ser yo.yo.d. aleatoria normal estándar de las variables. Definir el rango de $R \in \mathbb{R}_{\geq 0}$$R = \max \{X_1, \dotsc, X_n\} - \min \{X_1, \dotsc, X_n \}$. Estoy en busca de una expresión simple que es una buena aproximación de la función de densidad de $r(x)$$R$. Para mi aplicación el número de $n$ es bastante grande ($n=128$ en este caso en particular). Tengo la siguiente forma exacta de $r$ donde $\Phi$ es el CDF para cada una de las $X_i$$x \geq 0$:

$$r(x) = \frac{ n(n-1) e^{-x^2/4}}{2 \pi} \int_{\mathbb{R}} e^{-s^2} \left( \Phi(s + x/2) - \Phi(s - x/2) \right)^{n-2} ds$$

He tratado de estimar la integral en esta expresión, por ejemplo mediante el uso de

$$\Phi(s + x/2) - \Phi(s - x/2) \leq \Phi(x/2) - \Phi (x/2) = \textrm{fer}(\frac{x}{2 \sqrt{2}})$$

pero esto parece demasiado grueso, sin duda, para valores pequeños de a $x$. Los punteros se agradece, también para los resultados parciales como la estimación del valor esperado y la varianza de $R$.

Answer 1

Creo que este artículo puede ayudar. Alguien ha ampliado en esta en los últimos 50 años, pero parece un buen lugar para empezar:

Tablas de rango y studentized gama, HL Harter

http://www.jstor.org/stable/2237810

Editar: En caso de que usted está interesado y familiarizado con R, aquí está el código que parece funcionar (para mí, al menos):

r<-function(x,n){
inner.int<-function(s){
exp(-s^2)*(pnorm(s+x/2)-pnorm(s-x/2))^(n-2)
}
return(n*(n-1)*exp(-x^2/4)/(2*pi)*integrate(inner.int,-Inf,Inf)$value)
}