Morfismos entre las variedades

Question

Deje $V$ $W$ será de dos (irreductible) variedades más de una expresión algebraica campo cerrado $k$. Entonces hay una definición de lo que es un morfismos de variedades de $f:V\rightarrow W$ es. Por otro lado, podemos ver $V$ $W$ como localmente anillado espacios con las gavillas de regular las funciones de $\mathcal{O}_V$ $\mathcal{O}_W$ respectivamente. También hay una definición de lo que es un morfismos de localmente anillado espacios de $(f,f^\sharp):(V,\mathcal{O}_V)\rightarrow (W,\mathcal{O}_W)$ (Hartshorne, Cap 2, s 2).

Mi pregunta es: ¿es la misma para dar un morfismos de variedades de $f:V\rightarrow W$, y para dar un morfismos de localmente anillado espacios de $(f,f^\sharp):(V,\mathcal{O}_V)\rightarrow (W,\mathcal{O}_W)$?

Answer 1

Sí, este es el de la fidelidad de parte de la conocida equivalencia de categorías entre lo clásico variedades y variedades en el esquema de la teoría. Ver Hartshorne II.2.6 o Görtz-Wedhorn 3.37.

En mi opinión esta equivalencia de categorías es visto como un adjunto de equivalencia (en lugar de un functor que es totalmente fiel y esencialmente surjective). Es decir, para cada variedad $X$ construimos una correspondiente esquema de $\tilde{X}$ por encolado y a la inversa para cada esquema de $Y$ finito de tipo más de $k$ nos dotar a los puntos racionales $Y(k)$ con la estructura de una variedad. Estos son los functors, y no son naturales morfismos $Y \to \widetilde{Y(k)}$ (unidad) y $\tilde{X}(k) \to X$ (counit) la satisfacción de los zig-zag de las identidades, es decir, tenemos una contigüidad. Entonces uno se demuestra que la unidad y counit son isomorphisms, que se puede comprobar a nivel local y, por consiguiente, reducido a afín variedades resp. afín a los esquemas.