La aniquilación y Creación de los operadores no hermitian

Question

La aniquilación y creación de los operadores son los siguientes $$ \hat a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle\qquad\text{y}\qquad\hat^\daga|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle $$

Ahora sé que el operador^ no es Hermitian pero en cuanto a por qué estoy un poco confundido. Es porque ellos 'crear' y 'aniquilar' fotones por lo tanto son no hermitian? No creo que la explicación sería bueno para un examen si esta pregunta se la hicieron a pesar de que...

Answer 1

Creación y aniquilación de los operadores, son de la escalera de operador en el sentido de que subir y bajar respectivamente los números cuánticos de un estado (como por ejemplo, el número de partículas en un armónico oscilattor, el momento angular para giros, etc...). Si fueran hermitian, que es $a=a^\dagger$, el mismo operador $a$ debe bajar y subir el número cuántico al mismo tiempo estropear su propia definición. Tal vez, usted puede pensar en el `número de operador" $a^\dagger a$ como una especie de hermitian primo de $a$ o $a^\dagger$, y de hecho no subir o bajar de los números cuánticos, sino que simplemente cuenta.

Answer 2

Tenemos la aniquilación y creación de los operadores de $a$$a^\dagger$, respectivamente (sabemos que ellos son los hermitian conjugados de cada uno de los otros, pero no vamos a asumir ese hecho). Así que vamos a cambiar el nombre de $a^\dagger=b$.

Voy a tratar de mostrar que $a=a^\dagger$$b=b^\dagger$, da una contradicción. Sabemos que:

$$ba\vert n\rangle=n\vert n\rangle \quad, \quad ab\vert n\rangle=(n+1)\vert n\rangle$$We are supposing that $a^\daga$ is not the hermitian conjugate of $$.

Con esto, usted podría probar: $[a,b]=\mathbb{I}$

Entonces:

$$n^2\langle n \vert n\rangle=\langle n\vert a^\dagger b^\dagger ba\vert n \rangle=\langle n\vert a b ba\vert n \rangle=$$

$$=\langle n\vert[( b^\dagger a^\dagger+\mathbb{I}) ba]\vert n \rangle=n(n+1) \langle n\vert n \rangle+n \langle n\vert n \rangle$$

Donde he utilizado la conmutación de la relación y la hermiticy de la propiedad. Este se obtiene: $n=0$ o $\vert n\rangle =0$.

Así que a menos $\vert n\rangle=\vert 0\rangle$ o $0$, $a$ y $a^\dagger$ no se hermitian (creo que no se sostiene si el único estado es $\vert 0 \rangle $ o $0$ pero no estoy seguro).

Es porque ellos 'crear' y 'aniquilar' fotones

Este razonamiento sería muy descuidado. La escalera de los operadores de surgir en el contexto de la oscilador armónico, el momento angular... Pero en la Mecánica Cuántica, las partículas se conserva (se podría decir algo como que se modifica la energía, por lo que se emmits un fotón o algo así). Estos operadores de crear y destruir los fotones en la Teoría Cuántica de campos.

Answer 3

Mi primera reacción es dar un argumento a lo largo de las líneas de las otras respuestas, si $a=a^\dagger$ diciendo que $a$ se plantea y $a^\dagger$ baja no tiene sentido.

Sin embargo, si usted no quiere asumir que la hermitian conjugado de $a$ es un aumento del operador, puede ser más directa de que, aunque espectáculo $a$ no es hermitian teniendo en cuenta que el $a$ es una reducción de operador, sin saber $a^\dagger$ es un aumento del operador. Todo lo que tienes que hacer es construir los elementos de la matriz de $a$ en algunos conveniente, y mostrar que la matriz resultante no es hermitian. El$|n\rangle$, es muy conveniente!

En orden para $a$ a ser hermitian, debe ser que $a_{mn}^*= a_{nm}$, o, equivalentemente, \begin{equation} \langle m | a | n \rangle^* {=}^? \langle n | a| m \rangle \end{equation} Pero esto es claramente falso dada la definición de $a$, debido a que \begin{equation} LHS = \langle m | a | n \rangle^* = \sqrt{n} \langle m | n-1 \rangle^* = \sqrt{n} \delta_{m,n-1} = \sqrt{n} \delta_{m+1,n} \end{equation} mientras \begin{equation} RHS = \langle n | a | m \rangle = \sqrt{m} \langle n-1 | m \rangle = \sqrt{n-1} \delta_{m-1,n} \end{equation}

Claramente $LHS \neq RHS$, lo $a$ no es hermitian. [Para ver que no es igual acabo de probar un par de ejemplos, en cualquier momento $LHS\neq 0$$RHS=0$. Si usted escribió en notación matricial, LHS habría entradas de una ranura encima de la diagonal, RHS habría entradas de una ranura de abajo.]

De hecho, esta es esencialmente una prueba de que $a^\dagger$ es un aumento del operador (desde $\langle n | a^\dagger | m \rangle = \langle m | a | n \rangle^*$), por lo que este argumento no es fundamentalmente diferente de las otras respuestas.

Answer 4

Permite dar una respuesta basada en el significado físico del operador $\hat{a}$

El operador $\hat{a}$, es la mecánica cuántica operador que representa una medida de la clásica de la representación compleja de la intensidad de campo eléctrico. $\hat{a}$ en la física clásica, que es bien conocido como la señal analítica, que es en definitiva una generalización de la representación compleja de cualquier variable en el tiempo de la señal.

Por ejemplo: $$ 2*E_0cos(\omega t) = E_0e^{i\omega t} + E_0e^{-i \omega t} $$ La representación compleja de la real armónico de la señal de $E_0 cos(\omega t)$ puede ser tomado como $E_0/2e^{i\omega t}$. Pero lo elija como la representación compleja para cualquier variable en el tiempo el campo eléctrico ? Así, se puede ver desde el sencillo ejemplo anterior que la representación compleja puede ser definido por mantener sólo el positivo de la frecuencia de parte de la transformada de Fourier de la señal.

Este número complejo (la señal analítica a) para cualquier señal real x(t), puede ser escrito como $a = x - ip$ donde $p$ deduce a partir de la transformada de Hilbert de $x(t)$

La mecánica cuántica es simplemente la matemática de la reinterpretación de las cinemáticas de la física clásica cantidades y por la construcción de los autovalores del operador $\hat{a}$ son complejos.