La división de $\kappa$ conjuntos de cardinalidad $\kappa$

Question

Yo soy la resolución de exámenes antiguos, y no tengo la respuesta a la siguiente pregunta:

Para cada $\alpha \lt \kappa$ deje $A_\alpha \subset \kappa$$|A_\alpha| = \kappa$. Demostrar que existe un conjunto $X \subset \kappa$ tal que para cada $\alpha \lt \kappa$, $|A_\alpha \cap X| = |A_\alpha \setminus X| = \kappa$.

Lo que he intentado:

• He tratado de construir $X$ el uso de la inducción transfinita, pero se quedó atascado en las etapas donde tenía que expandir $X$ (y nadie garantiza que $\cap X_\alpha$ tendrá las propiedades que necesita en el límite de los números ordinales).
• Pensé acerca de los conjuntos de club, pero no pudo encontrar una manera útil para el uso de ellos.
• Ahora estoy mirando en la idea de que si esta declaración es incorrecta, debe tener $2^\kappa$ subconjuntos de a $\kappa$ que "de acuerdo" en $A_\alpha$ tal que $|A_\alpha \cap X|$ o $|A_\alpha \setminus X|$ es menor que $\kappa$. No está seguro de qué hacer con eso...

Gracias!

Answer 1

Sólo construir el $X$ y su complemento por recursión transfinita: En la etapa de $\alpha$, podemos definir aproximaciones $X_\alpha$ $Y_\alpha$ $X$y su complemento, por lo que el $X_0\subseteq X_1\subseteq\dots$ $Y_0\subseteq Y_1\subseteq\dots$

Al final (después de $\kappa$ etapas) $X$ es sólo la unión de las $X_\alpha$, y la unión de la $Y_\alpha$ está contenida en el complemento de $X$.

Para ello, en primer lugar cambiar el orden de los conjuntos (utilizando ese $\kappa\times\kappa\sim\kappa$) como $B_\alpha$, $\alpha<\kappa$, de modo que cada una de las $A_\alpha$ $B_\gamma$ $\kappa$ muchos de los valores de $\gamma$. Considere la posibilidad de una fase típica de $\alpha$. De forma recursiva, tanto en $\bigcup_{\beta<\alpha}X_\beta$ $\bigcup_{\beta<\alpha}Y_\beta$ contienen precisamente $|\alpha|$ muchos elementos. El conjunto $B_\alpha$ es de tamaño $\kappa>|\alpha|$, así que hay al menos dos puntos de $x\ne y$ $B_\alpha$ que no aparecen en $\bigcup_{\beta<\alpha} X_\beta\cup Y_\beta$. Deje $X_\alpha=\{x\}\cup\bigcup_{\beta<\alpha}X_\beta$$Y_\alpha=\{y\}\cup\bigcup_{\beta<\alpha}Y_\beta$.