¿Por qué el $n$ -ésima potencia de una matriz de Jordan implica el coeficiente binomial?

Question

He buscado mucho un explicación sencilla de esto. Dado un bloque de Jordan $J_k(\lambda)$ su $n$ -enésima potencia es:

$$ J_k(\lambda)^n = \begin{bmatrix} \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \cdots & \cdots & \binom{n}{k-1}\lambda^{n-k+1} \\ & \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \cdots & \cdots & \binom{n}{k-2}\lambda^{n-k+2} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1}\\ & & & & & \lambda^n \end{bmatrix}$$

¿Por qué el $n$ ¿implica el coeficiente binomial?

Answer 1

Sea $N$ denota la matriz nilpotente cuya superdiagonal contiene unos y todas las demás entradas son cero. Entonces $N^k=0$ . Por lo tanto, por el teorema del binomio: $$J_k(\lambda)^n=(\lambda I+N)^n=\sum_{r=0}^\color{red}{n} \binom{n}{r}\lambda^{n-r} N^r=\sum_{r=0}^\color{red}{\min(n,k-1)} \binom{n}{r}\lambda^{n-r} N^r.$$

Answer 2

User1551 ya ha dado la "explicación sencilla", así que permítanme mencionar el resultado general para evaluar funciones matriciales cuando el argumento es un bloque de Jordan. Dado el $n\times n$ Bloque de Jordan con valor propio $\lambda$ ,

$$\mathbf J=\begin{pmatrix}\lambda&1&&\\&\lambda&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda\end{pmatrix}$$

la matriz $f(\mathbf J)$ se ve así:

$$f(\mathbf J)=\begin{pmatrix}f(\lambda)&f^\prime(\lambda)&\cdots&\frac{f^{(n-1)}(\lambda)}{(n-1)!}\\&f(\lambda)&\ddots&\vdots\\&&\ddots&f^\prime(\lambda)\\&&&f(\lambda)\end{pmatrix}$$

Este resultado general se demuestra en varias referencias; por ejemplo este .

Para la función de potencia $f(x)=x^k$ tenemos el resultado general (fácilmente demostrable por inducción):

$$\frac1{j!}\frac{\mathrm d^j}{\mathrm dx^j}x^k=\binom{k}{j}x^{k-j}$$

Haciendo las sustituciones necesarias se obtiene la fórmula de la potencia de un bloque Jordan.