La resolución de $f(x+y)-f(x)=yf'\Big(x+ \dfrac y{2}\Big),\forall x,y\in \mathbb R$

Question

Deje $f:\mathbb R \to \mathbb R$ ser una función derivable tal que $f(x+y)-f(x)=yf'\Big(x+ \dfrac y{2}\Big),\forall x,y\in \mathbb R$ , entonces ¿cómo podemos mostrar que $f$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $2$ ?

Answer 1

Diferenciar con respecto a $y$:

$$ f'(x+y) = f'(x+y/2) + y/2 y f"(x+y/2) $$ Ahora establezca $y=-2x$ $$ f'(-x) = f'(0) - x f"(0) $$ Reemplace $x$ $-x$ para llegar a una forma reconocible. $$ f'(x) = f'(0)+x f"(0) $$ Integrar para obtener $$ f(x) = C + f'(0) x + \frac{1}{2} f"(0) x^2 $$

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*Añadido en respuesta a los comentarios acerca de la existencia de $f''$ *

Tenemos que mostrar que $f''$ existe.

Dejando $z = x + y/2$ hemos

$$f'(z) = \frac{f(z+y/2)-f(z-y/2)}{y}$$

Fix $y \neq 0$. Claramente el lado derecho es diferenciable con respecto a $z$. Por lo tanto, también lo es el lado izquierdo

Answer 2

Probablemente, hay una manera mucho más elegante manera de hacer esto, pero aquí es donde trasteando me puso:

La aplicación de $\frac{d}{dy}-\frac{d}{dx}$ a la funcional de la ecuación nos da $f'(x) = f'(x+y/2) - (y/2) f''(x+y/2)$. Establecimiento $x=0$ $z=y/2$ da $f'(z) - zf''(z) = f'(0)$.

Diferenciando esta vez nos da $f''(z) - f''(z) - zf'''(z) = -zf'''(z) = 0$, lo $f'''(z)=0$$z\neq 0$. Hey, ¿sabes?, es un polinomio.