Uso adecuado de implicación y equivalencia

Question

Creo que tengo una buena comprensión de la implicación y la equivalencia (también encontré esta pregunta), pero hay algunas cosas de las que no estoy seguro.

En primer lugar, en la clase de matemáticas de la escuela secundaria, cuando por ejemplo se nos daba una función cuadrática $f(x)$ con la derivada $f'(x)=2ax+b$, para calcular el extremo de $f$ escribiríamos algo así:

$$ f'(x)=0 \\ \Downarrow \\ 2ax+b=0 \\ \Updownarrow \\ x=-\frac{b}{2a} $$

formato no obstante.

Entiendo por qué la segunda implicación es una equivalencia, pero no estoy tan seguro de por qué la primera no lo es. (También creo haber visto a Sal Khan en Khanacademy escribir una doble flecha en casos como este, aunque no estoy seguro). Supongo que mi confusión proviene de lo siguiente, considerando el crecimiento de una función lineal $f(x)=ax+b$ en el intervalo $\Delta x:

$$ f(x+\Delta x)=a(x+\Delta x)+b=ax+b+a\Delta x=f(x)+a\Delta x $$

(Por cierto, esto estaba impreso en mi libro de texto de segundo año). Aquí, en el tercer paso, se inserta la función $f(x)$ en la expresión. Entonces, si son iguales (que obviamente lo son), ¿por qué la primera implicación anterior no es una equivalencia?

En segundo lugar, anteriormente pregunté esta pregunta, pero luego me encontré con estas notas. Estoy un poco confundido acerca del uso de flechas en la página 29. Primero, esto:

Aquí, entiendo que el uso de las flechas significa que cada expresión de los lados derechos son equivalentes entre sí, siendo la última expresión equivalente a la primera a la derecha, que a su vez es equivalente a la expresión del lado izquierdo. Luego, esto:

Aquí, asumo que las tres expresiones del lado derecho son equivalentes. En ese caso, lo que no entiendo es el uso de flechas simples. Supongo que el formato podría implicar que la primera expresión implica las tres expresiones de la derecha y que no se afirma explícitamente que las expresiones del lado derecho son equivalentes

Sobre la pregunta que hice, también me preguntaba si esta sería una forma aceptable de formatear por ejemplo la resolución de una ecuación (como la cuadrática anterior)?

Agradecería mucho si alguien pudiera aclarar esto. Gracias.

Answer 1

Tus dudas pueden ser explicadas por el siguiente teorema: $$\left(A\Leftrightarrow B\right) \Rightarrow \left(A\Rightarrow B\right)$$ Lo mismo vale para la otra dirección, por supuesto.

Prácticamente hablando, esto significa que si dos declaraciones son equivalentes, no es una declaración falsa usar una implicación allí.

La razón por la que la mayoría de las personas hacen esto es porque en muchas demostraciones, solo tienes que mostrar que alguna implicación es verdadera, por lo que estructurarías tu prueba como el patrón $$A\Rightarrow B\Rightarrow \dots\Rightarrow X$$

Pero en ese caso, es bastante coherente usar solo la parte de implicación de cualquier equivalencia, porque 1) Sería correcto (ver arriba) y 2) No tienes que preocuparte por la pregunta si una declaración en particular es una equivalencia o no, simplemente es útil.

Pero lo principal a reconocer aquí es que simplemente no importa, siempre y cuando no estés tratando de probar la dirección $"\Leftarrow"$.

Por cierto, la prueba (aunque bastante trivial):

$$\left(A\Leftrightarrow B\right) \Leftrightarrow \left( \left(A\Rightarrow B\right) \land \left(A\Leftarrow B\right) \right) \Rightarrow \left(A\Rightarrow B\right)$$