pre-compacidad, el total de acotamiento y "de Cauchy compacidad secuencial"

Question

De La Wikipedia:

Un espacio métrico es llamado pre-compacto o totalmente acotado si cualquier la secuencia tiene un Cauchy larga; esto puede ser generalizada a los uniformes de la espacios.

Alternativamente, pre-compacidad y el total de acotamiento puede ser definido de manera diferente para un espacio uniforme (tenga en cuenta que un espacio métrico es un espacio uniforme):

Pre-compacto subespacio es un subconjunto cuyo cierre es compacto.

Un subconjunto $S$ de un espacio uniforme $X$ es totalmente acotado si y sólo si, dado cualquier entourage $E$$X$, existe un número finito de cubierta de $S$ por los subconjuntos de a $X$ cada una de cuyas Cartesiano plazas es un subconjunto de $E$.

Déjame llamar a un espacio uniforme para ser de Cauchy secuencial compacto, si cualquier secuencia en la que tiene un Cauchy larga.

Me preguntaba si

• Para un espacio métrico, pre-compacidad, el total de acotamiento y Cauchy la compacidad secuencial son todos equivalentes?
• La misma pregunta para un espacio uniforme?

Añadió:

• Pre-compacidad en la primera cita se define de manera diferente a partir de la uno en la segunda cita. Así que ahora mi pregunta es reducido a si el total de acotamiento y Cauchy compacidad secuencial son equivalente en ambos espacios métricos y uniforme de los espacios.

• Pete respuesta dice sí a la métrica de los espacios, y ahora lo podemos decir sobre el uniforme de los espacios?

Gracias y saludos!

Answer 1

Me temo que no sé la respuesta sobre el uniforme de los espacios de parte de improviso.

Sobre métricas de los espacios, aquí están algunos hechos relevantes:

1) Un espacio métrico compacto iff es secuencialmente compacto.

2) Un espacio métrico es totalmente acotado si para todos los $\epsilon > 0$, se puede escribir como un número finito de la unión de los subconjuntos cada uno de diámetro en la mayoría de las $\epsilon$.

3) Todo subespacio de un totalmente acotado espacio métrico es totalmente acotado.

4) Un espacio métrico es totalmente acotado iff cada secuencia admite un Cauchy larga.

5) Un espacio métrico es secuencialmente compacto si es completo y totalmente acotado.

(Para las pruebas de véase, por ejemplo, las páginas 14 a 18 de la presente nota explicativa de la mina.)

Tenga en cuenta que 2) y 3) muestran que el total de acotamiento es un "intrínseca" de la propiedad de un espacio métrico: es decir, un subconjunto $Y$ a de un espacio métrico $(X,d)$ está totalmente delimitada como un subconjunto iff $(Y,d)$ está totalmente delimitada como un espacio métrico en su propio derecho. Dado que el total de acotamiento es equivalente a lo que ustedes llaman de Cauchy compacidad secuencial, Cauchy compacidad secuencial es también intrínseca. Pero precompactness no es intrínseca, por lo que no puede ser equivalente a la de los otros dos.

Tenga en cuenta también que el total de acotamiento es en general más débil que la compacidad. Por ejemplo, los números racionales se cruzan $[0,1]$ son totalmente acotado, pero no compacto.

Answer 2

Es un simple resultado de que un espacio uniforme $X$ es totalmente acotado iff cada netos en $X$ tiene un Cauchy de subred, y la costumbre de equivalencia entre las redes y los filtros muestra que este es a su vez equivalente a la afirmación de que para cada filtro en $X$ hay un fino filtro de Cauchy. Sin embargo, esto no garantiza que cada secuencia tiene una Cauchy larga. Un contraejemplo es $\beta\omega$: es un compacto Hausdorff espacio, por lo que tiene un único compatible con la uniformidad y es completo y totalmente acotado en el que la uniformidad, sino la secuencia de $\langle n:n\in\omega\rangle$ no tiene convergente larga.

No he trabajado mucho con el uniforme de los espacios, pero en ese contexto he vistos generalmente precompact se utiliza como sinónimo de totalmente acotado. La situación con respecto a el otro significado del término es el mismo como en espacios métricos. Si $Y$ es un subespacio de un completo espacio uniforme $X$, $\operatorname{cl}_XY$ es completa; si $Y$ es totalmente acotado $-$ que es una propiedad inherente, como también lo es para espacios métricos $-$ $\operatorname{cl}_XY$ es totalmente acotado y por lo tanto compacto. Por lo tanto, un subconjunto de un completo espacio uniforme es precompact (en este sentido) iff es totalmente acotado. Este no será el caso en arbitraria uniforme de los espacios, sin embargo.