Cociente de la mitad superior del plano como una línea proyectiva

Question

En la discusión de la Belyi teorema aquí uno de ellos señaló que $\mathbb{H}^{*}/SL(2, \mathbb{Z})$ es isomorfo a la (compleja) proyectiva de la línea de $\mathbb{P}^1$ donde $\mathbb{H}^{*}=\mathbb{H} \cup \mathbb{P^1(\mathbb{Q})}$.

Alguien podría dar una explicación de este hecho, por favor?

Answer 1

En primer lugar, una definición

Definición (Extended Mitad Superior del Plano) definimos $\mathbb{H}^*$ $\mathbb{H} \cup \mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$ donde $\mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$ es mirado como puntos en la recta real más un punto hasta el infinito

Podemos definir la acción de $SL_2(\mathbb{Z})$ $\mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$ envío de $[x:y]$$[ax+by : cx+dy]$.

Ahora tengo que citar dos hechos, uno de ellos muy simples y otras muy complicadas que son foundamental:

1. La acción se define anteriormente en $\mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$ es transitiva por lo que en el cociente de la imagen de $\mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$ es un único punto.
2. Puede definir una topología en $\mathbb{H}^*$ tal que $\mathbb{H}^*/SL_2(\mathbb{Z})$ es un compacto conectado superficie de Riemann.

Lo que hemos hecho? Bueno, teniendo en $\mathbb{H}^*$ hemos hecho una especie compactification del cociente de $\mathbb{H}$, el único que lindan con tan solo un punto a $\mathbb{H}/SL_2(\mathbb{Z})$ en un sensated manera que nos permiten definir una topología en $\mathbb{H}^*$ compatible con la acción de la $SL_2(\mathbb{Z})$ y la Superficie de Riemann de la estructura.

Ahora queremos construir un isomorfismo entre el$\mathbb{H}^*/SL_2(\mathbb{Z})$$\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$.

Podemos usar la función $J$ que envía un complejo número de $\tau \in \mathbb{H}$ $j$- invariat de la Curva Elíptica $\mathbb{C}/\Lambda_{\tau}$:

• Es holomorphic en $\mathbb{H} $
• Una constante en las órbitas de la acción de la $SL_2(\mathbb{Z})$, por lo que induce un mapa de $\mathbb{H}/SL_2(\mathbb{Z})$ $\mathbb{C}$
• Dispone de un sencillo polo en el infinito, de modo que se extiende a un olomorphic mapa de $\tilde{J}:\mathbb{H}^*/SL_2(\mathbb{Z}) \rightarrow \mathbb{P}^1(\mathbb{C})$.

Ahora a la conclusión de observar que $\tilde{J}$ es un holomorphic mapa entre los compactos conectado Superficie de Riemann por lo que es surjective (Es un abierto y cerrado mapa) y es inyectiva por las propiedades de la $j$-invariante.

Hay otras varias formas de verificar este isomorfismo (el uso de las formas modulares, utilizando la geometría algebraica, calcular el género del cociente de $ \mathbb{H}^*$, también hay un completo modo elemental, utilizando sólo los residuos teorema) pero en mi opinión este es el más "topológicamente" claro.