Matriz de una forma bilineal <A,B>= tr(AB)</A,B>

Question

En la revisión de un examen próximo, me he encontrado con la siguiente pregunta: Deje que la forma bilineal (a,B) se define como tr(AB) en el espacio de 2x2 real de las matrices. Encontrar una base ortogonal para el formulario.

Sé que cuando se trabaja con vectores, con (x,y) = (xt)Ay que me parece la matriz tomando la forma bilineal de la base de los elementos, pero no estoy seguro de cómo hacerlo aquí cuando se trabaja con matrices.

También sé que voy a obtener un número de este formulario (causa de la traza) así que me empezó a considerar las matrices como 4-d vectores entonces, aunque realmente no estoy seguro de si estoy en el camino correcto o no. (No muy seguro de a dónde ir desde aquí) Un pensamiento que me convirtió en su contra se si acabo de escribir las cuatro entradas del vector como la 1ª fila de la matriz, luego de la 2ª vta, no estoy seguro de lo que me tr(AB), a diferencia del seguimiento de los tiempos de la transposición de la B. yo no sé cómo el uso de Gram-Schmidt, pero supongo que viene después?

Ayuda sería muy apreciada, ya que esta pregunta realmente ha expuesto mi falta de conocimiento sobre este tema. Gracias

Answer 1

Este es el tipo de problema que es fácil de hacer por ensayo y error. Usted necesita encontrar cuatro matrices de $M_1, ..., M_4$ tal que $Tr({M_i}^2) \neq 0$$Tr(M_i M_j)=0$$i \neq j$. Nos gustaría encontrar matrices con un montón de ceros para que la condición de ortogonalidad fáciles de satisfacer.

Así las matrices $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ son grandes candidatos. Ahora mira a $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.

Se puede comprobar que estas cuatro matrices de resolver el problema.