En busca de trabajo

Question

Estoy muy atascado buscando un Lypaunov candidato para el siguiente sistema (que en la simulación es estable).

$$ \dot{x} = -(a+a^T)x + Ay \\ \dot{y} = K(x-y) $$

donde x e y son vectores en R^3, es una variable de matriz tal que $A+A^T > 0$, lo $x^TAx > 0$. Y $K$ $kI$ donde $I$ es la matriz identidad y $k$ reales positivos constante.

Me han tratado como de Lyapunov candidatos $||x||^2+||y||^2$, $||x-y||^2$, $||x+y||^2$ y $||x^Ty||^2$, pero siempre me encuentro en cruz los términos de la derivada que no puedo eliminar. Cualquier otras pistas o sugerencias?

Muchas gracias de antemano

algunos cálculos con el fin de seguir el problema:

$$V_1 = \frac{1}{2}(||x||^2 + ||y||^2)$$ $$\dot{V}_1 = x^T\dot{x} + y^T\dot{y} = -x^T(A+A^T)x -y^TKy + x^T(A+K)y$$ $$V_2 = \frac{1}{2}||x-y||^2$$ $$\dot{V}_2 = (x-y)^T(\dot{x}-\dot{y})=-x^T(a+a^T)x -y^TKy + x^T(a+K)y -x^TKx + x^TKy + y^T(a+a^T)x - y^TAy$$ $$V_3 = \frac{1}{2}||x^Ty||^2$$ $$\dot{V}_3 = x^T\dot{y}+y^T\dot{x} = -y^T(A+A^T)y+y^TAy+x^TKx-x^TKy $$

Answer 1

Voy a dar un contraejemplo para mostrar que el sistema puede ser inestable. Vamos $$ X = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix},\\ \dot X = \begin{pmatrix} -A -A^T & A \\ k I & - k I\end{pmatrix}X = \mathcal Una X $$ Si $A$ es una constante de matriz, entonces la solución general (para los no-degenerada autovalores) es $$ X = e^{\mathcal Un t} X_0, $$ por lo tanto si $\mathcal A$ tiene un autovalor positivo, entonces el sistema no es estable. Tenga en cuenta que, $$ \det \begin{pmatrix} -A -A^T -\lambda I & A \\ k I & - k I -\lambda I\end{pmatrix} = \det( (a+ a^T +\lambda I)(k+\lambda) - Ak ), $$ esto es debido a que la parte inferior dos bloque de matrices conmutan. Esta entonces es la que inspira la elección (voy a hacer de 2x2 para simplificar) : $$ A =\left( \begin{array}{cc} 1 & -4 \\ 4 & 1 \\ \end{array} \right) \quad k=1, $$ resultando en $$ \det( (a+ a^T +\lambda I)(k+\lambda) - Ak ) =\lambda ^4+6 \lambda ^3+11 \lambda ^2+6 \lambda +17 =0 $$ dar las soluciones $$\{\{\lambda \3.14936-1.21259 i\},\{\lambda \a -3.14936+1.21259 i\},\{\lambda \a 0.149358\, -1.21259 i\},\{\lambda \a 0.149358\, +1.21259 i\}\}.$$

Dos de los autovalores tienen parte real positiva, lo que significa que el sistema es inestable.