¿Cómo encuentro la siguiente integral definida?

Question

Encuentre el valor de la siguiente integral definida:

ps

Intenté usar la integración por partes, pero da otra integral complicada, por lo que posiblemente la antiderivada no exista. ¿Qué otros métodos puedo aplicar?

Answer 1

Escribamos$$I=\int_0^1\dfrac{\arctan t}{1+t}dt$ $ El cambio de variables$t=\dfrac{1-x}{1+x}$ muestra que $$ \ eqalign {I & = \ int_0 ^ 1 \ arctan \ left (\ frac {1-x} {1 + x} \ right ) \ frac {dx} {1 + x} \\ & = \ int_0 ^ 1 \ left (\ frac {\ pi} {4} - \ arctan x \ right) \ frac {dx} {1 + x} \\ & = \ frac {\ pi} {4} \ int_0 ^ 1 \ frac {dx} {1 + x} - \ int_0 ^ 1 \ frac {\ arctan x} {1 + x} dx \\ & = \ frac { \ pi} {4} \ ln 2-I} $$ Por lo tanto$I=\dfrac{\pi}{8}\ln 2$.$\qquad \square$

Answer 2

No es tan fácil de una integral como parece a primera vista. Estoy cortar/pegar soluciones en cuatro de los casos obtenidos por Mathematica Versión 8. ...incluyendo el límite superior 1 cambió.

Primer caso el resultado es real, incluso si involucra $i$ pero no anular $i$ en la expresión final.

El segundo caso es lo que usted solicitó, evaluados numéricamente.

Tercera realidad implica Arctan, Registro y catalán constante.

Cuarto caso con el límite superior 1 tiene una facilidad para obtener el resultado, pero la conexión a la simplificación, debido al límite superior 1 es de extrañar...

$ \text{Integrate}[\text{ArcTan}[(u)]/(1+u),u] $

$ 1/32 (-5 I[\text{Pi}]{}^{\wedge}2+8 I[\text{Pi}] \text{ArcTan}[u]-32 I \text{ArcTan}$

$[u]{}^{\wedge}2-24[\text{Pi}] \text{Log}[2]+16[\text{Pi}] \text{Log}$

$[1+E{}^{\wedge}(-2 I \text{ArcTan}[u])] $

$-32 \text{ArcTan}[u] \text{Log} [1+E{}^{\wedge}(-2 I \text{ArcTan}[u])]+ $

$ 8[\text{Pi}] \text{Log}[1-I E{}^{\wedge}(2 I \text{ArcTan}[u])] $

$ +32 \text{ArcTan}[u] \text{Log}[1-I E{}^{\wedge}(2 I \text{ArcTan}[u])]+ $

$8[\text{Pi}] \text{Log}[1+u{}^{\wedge}2]-8[\text{Pi}] \text{Log}$ $[\text{Sin}$

$[[\text{Pi}]/4+ \text{ArcTan}[u]]]-16 I \text{PolyLog}[2,-E{}^{\wedge}(-2 I $

$\text{ArcTan}[u])]-16 I \text{PolyLog}[2,I E{}^{\wedge}(2 I \text{ArcTan}[u])]) $

$ \text{NIntegrate}[\text{ArcTan}[(u)]/(1+u),\{u,0,\text{Pi}/4.\}] $

0.189728

$ \text{Integrate}[\text{ArcTan}[(u)]/(1+u),\{u,0,\text{Pi}/4\}] $

$ 1/96 (-48 \text{Catalan}-47 I[\text{Pi}]{}^{\wedge}2+[\text{Pi}] (24 I$

$ \text{ArcTan}[[\text{Pi}]/4]-2$

$\text{Log}[4096]+24 (\text{Log}[1-I E{}^{\wedge}(2 I \text{ArcTan}$

$[[\text{Pi}]/4])]+2 \text{Log}[I/(-4 I+[\text{Pi}])]+\text{Log}[16+[\text{Pi}]$

${}^{\wedge}2]+\text{Log}[ \text{Csc}[[\text{Pi}]/4+ $

$ \text{ArcTan} [[\text{Pi}]/4]]]))-48 I (2 \text{ArcTan}[[\text{Pi}]/4] $

$ {}^{\wedge}2+2I \text{ArcTan}[[\text{Pi}]/4] (\text{Log}[-((1+I)/(4 $

$ I+[\text{Pi}]))]-\text{Log}[(8 I)/((-4 I+[\text{Pi}]) $

$ (4+[\text{Pi}]))])+\text{PolyLog}[2,-((4+I[\text{Pi}])/(4 $

$ I+[\text{Pi}]))]+\text{PolyLog}[2,(4 I+[\text{Pi}])/(-4 I+[\text{Pi}])])) $

$ \text{Integrate}[\text{ArcTan}[(u)]/(1+u),\{u,0,1\}] $

$ log (2) \pi/8 $

La función dada es regular, es un producto de dos funciones, una en aumento, la disminución de otros, por lo que tiene un máximo, ( en t = 1.22913).