Categoría Eilenberg Moore

Question

He estado tratando de código hasta el Eilenberg-Moore categoría para una mónada en Haskell.

Como yo lo entiendo, dada una categoría $C$ y una mónada $(T,\eta,\mu)$ $C$ construimos la Eilenberg-Moore categoría $C^T$ como la categoría cuyos objetos son álgebras de en $a$, es decir, los pares que consiste en un objeto de $a$ $C$ y un mapa de la $h:Ta\to a$ la satisfacción de algunas propiedades, y cuyos morfismos son álgebra homomorphisms.

El functor $G:C^T \to C$ es olvidadizo functor que actúa como

$$G(a,h:Ta \to a) = a$$

$$G(f:a\to b,\, g:(Ta\to a)\to(Tb\to b)) = f$$

El functor $F:C\to C^T$ actúa sobre los objetos como

$$Fa = (Ta,\,\mu)$$

pero no entiendo lo que hace a morfismos. Tengo

$$Ff = (Tf,\, \_ )$$

pero no entiendo lo que pasa en el _.

Necesito crear algo de tipo $(T(Ta) \to Ta)\to (T(Tb)\to Tb)$ de

$$\mu:T(Ta)\to Ta$$

$$\eta:a\to Ta$$

$$f:a\to b$$

$$T:(a\to b)\to (Ta\to Tb)$$

Pero no veo cómo hacerlo. Supongo que una opción sería la función que tiene cada álgebra $h$$\mu$, es decir,

$$Ff = (Tf, \lambda h.\mu)$$

pero ni siquiera estoy convencido de que es un álgebra de homomorphism. Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

El efecto de la izquierda adjoint $F$ en morfismos ya está determinado por la característica universal de las unidades de la contigüidad: dado un mapa de $f: x \to y$, considere el diagrama de

$$\matriz{ x & \mathop{\longrightarrow}\límites^{\eta_x} & GFx \cr {\scriptstyle f} \big\downarrow {\ } & & \cr y & \mathop{\longrightarrow}\limits_{\eta_y} & GFy \cr} $$

y deje $Ff: Fx\to Fy$ ser el único mapa que corresponde a la composición de $\eta_y\circ f: x\to GFy$.

En tu ejemplo, si $(a,h:Ta\to a)$ $T$- álgebra, un mapa de $g: x\to a$ corresponde a $h\circ Tg: (Tx,\mu_x)\to (a,h)$ y, en consecuencia, para $f: x\to y$ obtenemos:

$Ff = \mu_y\circ T(\eta_y\circ f) = \mu_y\circ T\eta_y \circ Tf = Tf$.

Answer 2

Creo que no hay ningún$\_$ en absoluto:

Permita que$(A,h)$ y$(B,k)$ be$T$ - álgebras, luego una flecha $f:A\to B$ en sí misma sea un homomorfismo, si$Tf$ y$f$ conmutan con y $h$.

Solo tiene que verificar que$k$ satisfaga esta condición de conmutatividad.