¿Cuándo es el próximo palíndromo?

Question

Bueno, esto es más por diversión que por otra cosa.

Estoy conduciendo en mi coche el día de hoy, (true story) y mi odómetro está a punto de golpear $81,818$. De modo que, siendo un nerd de las matemáticas y de todo, yo inmediatamente ver el patrón y pensar palíndromo... Entonces mi ojo golpea el viaje en metro (la que tiene las decenas de millas) y se mantiene a $3,241.1$ y me doy cuenta de que voy a tener, tanto en número convertirse en palíndromos juntos! Y así un par de minutos y, por supuesto, tengo dos palíndromos en mi odómetro $$81,818 \text{ and } 3,242.3$$ Ser un estudiante de matemáticas, mi mente de inmediato piensa en "me pregunto cuándo va a ocurrir esto de nuevo?" Así que, ¿cuándo es la próxima vez que esto va a suceder de nuevo?

Así que debido a que la tasa de cambio es más lento para el odómetro número, realmente depende de eso. Yo también la figura de cada unidad de incremento en el odómetro número corresponde a 10 diferentes consecutivos décimas en el contador (por ejemplo, si mi lectura del odómetro cambios a 81,818 cuando el contador lee 3,241.6, el odómetro va a cambiar a 81,819 cuando el contador lee 3,242.6).

Así que, la próxima palíndromo para la más grande del odómetro es$81,918$, lo que significa que el 100 millas ha pasado. Por lo tanto, el viaje de la lectura es $3,341.6$ y es fácil ver que el contador no llegará a $3,343.3$ antes de que el mayor número de cambios y no tengo un partido. El próximo palíndromo es $82,028$ y mi menor leerá $3,452.3$ y por lo tanto no voy a tener un partido.

Pregunta 1: ¿Cuándo es la próxima palíndromo partido en mi cuentakilómetros?

Pregunta 2: ¿hay una manera de generalizar esto? Por ejemplo, si tengo un número $ab,cba$ que es una representación decimal cuyo último dígito es el dígito de las unidades, y otro número $z,yxy.x$, de nuevo otra representación decimal con el último siendo x el décimas dígitos, hay una manera de encontrar siempre la siguiente palindrómicas partido?

EDIT: he cambiado la redacción así que ahora tenemos el cuentakilómetros y cuentakilómetros a cero.

Me gusta la lógica que @BeaumontTaz utilizado para resolver. Hay otros métodos por ahí que pueda también hacer el truco?

Answer 1

Los únicos números menos de $1000$ que usted puede agregar a $81818$ para obtener un palíndromo son:

$$100,210,310,410,510,610,710,810,910$$

Se me ocurrió esta lista con la lógica:

$$\begin{align} abcba& \\ \underline{+\quad gfe}&\\ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} 0&a&b&c+g&b+f&a+e\\ 1&a+1&b+1&c+g+1&b+f+1&\\ \end{array}&\end{align}$$

donde las líneas verticales romper los dígitos y cada entrada es $\pmod{10}$. Ahora tenemos una gran cantidad de lógica de enunciados. Decidimos entre las filas superior e inferior de la siguiente manera. Nota estoy contando columnas empezando por la derecha.

$$\begin{align}\mathrm{column 2}=&\begin{cases} b+f:& a+e\le9\\ b+f+1:& a+e>9 \end{casos}\\ \mathrm{columna 3}=&\begin{cases} c+g:& (b+f\le9)\land(a+e\le9\lor b+f\le8)\\ c+g+1:& (b+f>9)\lor(a+e>9\land b+f>8) \end{casos}\\ \mathrm{columna 4}=&\begin{cases} b:& (c+g\le9)\land(b+f\le9\lor c+g\le8)\land(a+e\le9\lor b+f\le8 \lor c+g\le8)\\ b+1:& (c+g>9)\lor(b+f>9\land c+g>8)\lor(a+e>9\land b+f>8 \land c+g>8) \end{casos}\\ \mathrm{columna 5}=&\begin{cases} a:& b\ne9\lor((c+g\le9)\land(b+f\le9\lor c+g\le8)\land(a+e\le9\lor b+f\le8 \lor c+g\le8))\\ a+1:& b=9\land ((c+g>9)\lor(b+f>9\land c+g>8)\lor(a+e>9\land b+f>8 \land c+g>8)) \end{casos} \end{align}$$

Básicamente, estos solo representan las condiciones que pueden causar que nos llevan en una columna en particular.

Para nuestro caso particular $b=1\ne9$, por lo que nos vemos obligados a $a$ en la quinta columna. Y en orden para que esto sea un palíndromo $a+e=a$, lo que significa que $e=0$.

Ahora desde $e=0$ sabemos que $a+e\le9$ desde $a\le9$ y, por tanto, la segunda columna es $b+f$. Tenemos dos casos: $b+f=b$ o $b+f=b+1$ dependiendo de si llevamos en la cuarta columna o no. Primero asumir que no tenemos que:

Esto es $b+f=b$ y de nuevo, $f=0$. Ya no tenemos llevando en la cuarta columna sabemos que $(c+g\le9)\land(b+f\le9\lor c+g\le8)\land(a+e\le9\lor b+f\le8 \lor c+g\le8)$ es cierto. Desde $f=e=0$ las dos a la derecha la mayoría de las afirmaciones son verdaderas y sólo requieren que $c+g\le 9$ hacer toda la instrucción verdadera. Para nuestro caso de $c=8$ sabemos que $g\le1$. Así que nuestros dos casos para no llevar es $000$$100$. La única importante es $100$.

Supongamos ahora tenemos que llevar. $b+f=b+1$ , lo que significa que $f=1$. Y ya que hemos llevado requerimos $(c+g>9)\lor(b+f>9\land c+g>8)\lor(a+e>9\land b+f>8 \land c+g>8)$ para ser verdad. La última instrucción está obligado a ser falso, porque $e=0$ y, por tanto, $a+0>9$ es falso. Para nosotros $b=1$ $b+f=1+1=2$ que no es mayor que $9$. Así que la segunda afirmación es falsa. Así que sólo requieren el primero para ser verdad. Por lo tanto decimos que el $c+g>9$ y desde $c=8$ tenemos $g>1$. Y que nos da el resto.

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Podemos simplemente cada número en nuestra lista con $3242.3$ a ver si podemos encontrar una $d$ tal que $gfe.d+xyzy.x$ es un palíndromo. O podemos utilizar la misma lógica que hicimos anteriormente (creado el llevar tablas de condiciones). Estoy un poco cansado de escribir estas expresiones largas. Pero el resultado final de hacerlo de esta manera nos dice que $d$ se $0$ o $1$ (porque no se puede conseguir nunca el primer dígito de $3242.3$ mayor que $4$ sin la adición de un número mayor de $1000$. Para el caso de $d=0$ nos encontramos con que $g=0$ o $g=9$. Ya que no tenemos ningún de los casos en la primera lista con $g=0$ sólo tenemos el caso de $910$. Y $910.0$, no un palíndromo. Para el caso de $d=1$ nos encontramos con que $y+g>9$ y desde $y=2$ requerimos que $g>7$ por Lo que debemos comprobar $810.1$ $910.1$ y se encuentran con que no son palíndromos.

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Por lo tanto, no hay ningún número por debajo de los 1000 nos puede dar un palíndromo tanto para los odómetros. Este mismo método puede ser hecho por $hgfe$$hgfe.d$, pero podría tomar más tiempo y más paciencia para terminar. Sospecho que el número de Neil da es el más pequeño de tal número. Pero usted sólo tendrá que comprobar la $1000,1001,\ldots,1009$ para realmente comprobar que es el más pequeño.