$\lim_{n \to \infty} n \int_0^1 x^np(x) \, dx=$? , donde$p(x)$ es un polinomio

Question

Me encontré con el siguiente problema que dice:

Permita que$p(x)=a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_0$ sea un polinomio. Entonces$\lim_{n \to \infty} n \int_{0}^{1} x^np(x) \, dx$ es igual a cuál de los siguientes?
$1.\quad p(1)$
$2.\quad p(0)$
$3.\quad p(1)-p(0)$
$4.\quad \infty$

Mi intento:$$\lim_{n \to \infty} n \int_0^1 x^np(x) \, dx=\cdots=\lim_{n \to \infty} n\left[\frac {a_k}{n+k+1}+\frac {a_{k-1}}{n+k}+\frac {a_{k-2}}{n+k-1}+\frac {a_{k-3}}{n+k-2}+\cdots+\frac {a_0}{n+1}\right]=\lim_{n \to \infty}\left[\frac {a_k}{1+\frac {k+1}{n}}+\cdots+\frac {a_0}{1+\frac {1}{n}}\right]=a_k+a_{k-1}+\cdots+a_0=p(1).$ $

¿Voy en la dirección correcta? Gracias de antemano por tu tiempo.

Answer 1

¿Voy en la dirección correcta?

Answer 2

$$ \lim_{n\to\infty} n \int_0^1 x^n p(x) \, dx = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1}\cdot (n+1) \int_0^1 x^n p(x) \, dx $$ $$ =\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} \cdot \lim_{n\to\infty} \int_0^1 (n+1)x^n p(x) \, dx,\etiqueta{1} $$ siempre que ambos límites existen, y es trivial que el primero.

La función de $x\mapsto(n+1)x^n$ es una densidad de probabilidad en el intervalo de $[0,1]$ (que, por supuesto, es la razón por la que me fui a través de este material, para poner a $n+1$ allí en vez de a $n$). Como $n$ aumenta, se concentra la probabilidad más cercana a $1$, y de hecho, el límite de $n\to\infty$ de la probabilidad que asigna a cualquier intervalo de $[a,b]\subseteq[0,1]$ es la probabilidad asignada al intervalo por los degenerados de distribución que concentra todo el de la probabilidad en $1$. Dejar (capital) $X$ ser una variable aleatoria con esta distribución, la integral en $(1)$ es el valor esperado $\mathbb E(p(X))$.

Tal vez no es sorprendente que los que se dirigiría $p(1)$$n\to\infty$, ya que en el límite, todos de la probabilidad se concentra en $1$. (Se necesita más trabajo para hacer esta totalmente riguroso . . . . . .)

Answer 3

Puede simplificar el cálculo diciendo que$\displaystyle n\int_0^1 x^n \cdot x^j dx = \frac{n}{n+j+1} \underset{n\to + \infty}{\longrightarrow} 1$ y luego concluyendo gracias a la linealidad:$$n\int_0^1 x^kp(x)dx= \sum\limits_{j=0}^m a_j n \int_0^1 x^k \cdot x^jdx \underset{n\to + \infty}{\longrightarrow} \sum\limits_{j=0}^m a_j=p(1)$ $