Elementos genéricos de un conjunto.

Question

Leve Motivación: En la escritura de un post acerca de la Categoría de Baire Teorema, me enteré de la ordenada hecho de que un "genérico" $f\in C^{0}([a,b], {\mathbb R})$ fue diferenciable, y no monotono en cualquier subinterval. El término "genérico" se define de la siguiente manera: si $A$ es el complemento de un escaso conjunto y todos los puntos en $A\subseteq X$ $X$ algún espacio para compartir algunas de la propiedad, entonces la propiedad se dice que el ser genérico del conjunto.

Pregunta: ¿Cómo estándar es esta definición de genérico, y que tan útil es para hablar de algo que es genérico de un conjunto?

Para ampliar esta última parte un poco: genérica de un número real es un número irracional (desde los racionales no son comeagre) entonces, ¿qué nos dice esto acerca de los números reales? Si tuviéramos que demostrar algo por sólo un elemento genérico, ¿cómo podríamos describir este (como, por un conjunto de medida cero, decimos, "casi en todas partes," --- hemos de decir que algo es verdadero "a un escaso conjunto")?

Answer 1

La definición en Kechris' Clásico Descriptivo de la Teoría de conjuntos [1, pág. 42] este es el dado por la definición de genérico como una propiedad de la celebración de un co-escasos conjunto. Yo diría que este es, de hecho, la definición estándar, como Kechris es donde la mayoría de las personas tienden a tener sus descriptivo de la teoría de conjuntos.

Hay que hacer notar que el término está estrechamente relacionado con el forzamiento (en el conjunto sentido teórico) como un filtro genérico se reúne cada subconjunto denso de la obligando a poset.

De hecho, como usted dice, a ser un número irracional es de hecho un genérico de propiedad como un trascendental número.

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Bibliografía:

1. A. S. Kechris, Clásica descriptivo de la teoría de conjuntos, Springer, 1995.

Answer 2

No tiene una definición estricta. Dependiendo del contexto, esto puede significar "a excepción de un conjunto escaso", "excepto un conjunto de medidas cero", etc. "Un número real genérico" puede establecerse también en términos de cardinalidad: los racionales tienen cardinalidad contable que es estrictamente menor que la cardinalidad del conjunto de los reales.