Demuestre que no hay ningún número real positivo que sea menor que todo número real positivo.

Question

Creo que lo que pasaría si hay menos de todos los números reales positivos ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Si $0 < \epsilon \in \Bbb R$ y $\epsilon < r$ por cada positivo $r \in \Bbb R$ entonces

$\epsilon < \epsilon; \tag 1$

¡que obviamente no funcionará!

Incluso si relajamos la condición de $\epsilon < r$ a $\epsilon \le r$ para todos los positivos $r \in \Bbb R$ , sigue sin funcionar, ya que

$0 < \dfrac{\epsilon}{2} < \epsilon. \tag 2$

Answer 2

Supongamos que existe un verdadero $y > 0$ que es menor que cualquier otro número real positivo. Entonces $y < \frac{1}{n}$ para cada número natural $n$ . Esto implicaría entonces que $n < \frac{1}{y}$ para cada número natural (¡los números naturales tendrían entonces un límite superior!) y así tenemos una contradicción.

Answer 3

Si $x$ es un número real, entonces $x/2$ también es un número real $< x$ con una contradicción.

Si los números reales están formados por las clases de límites de las series de Cauchy convergentes, entonces existe una serie $a_1, a_2, a_3, …$ con el límite $x$

$x/2$ es un número real ya que existe una secuencia de Cauchy $a_1/2, a_2/2, a_3/2 , …$ que tiene el límite $x/2$

Answer 4

Dejemos que $r$ sea un real positivo. Consideremos el conjunto $S=\{x\in\mathbb{R}~:~x<r\}$ . Ahora este conjunto $S$ no está vacío, ya que $0\in S$ . Así que tiene un límite superior mínimo, digamos $r^*$ . $r^*\leq r$ como $r\not<r$ . Si $r^*<r$ entonces $r^*<\frac{r+r^*}{2}<r$ . Por lo tanto, $\frac{r+r^*}{2}\in S$ lo que contradice nuestra suposición de que $r^*$ es el límite superior más bajo. Así que $r^*=r$ pero $r\not\in S$ .

Answer 5

Espera, entonces este número que estás buscando sería menor que cada número real positivo que incluye mismo ? Eso es imposible. Creo que querías preguntar

Demuestre que no hay ningún número real positivo que sea menor que todos otros números reales positivos.

Esa es la cuestión que ya han abordado los demás contestatarios, y que yo abordaré ahora desde un ángulo ligeramente distinto.

Considere el número $$0.000000000000000000000000000000000001.$$ Es un número muy pequeño, ¿verdad? Es definitivamente más pequeño que todos los enteros positivos. Bien, $$0.0000000000000000000000000000000000001$$ es aún más pequeño. Y $$0.00000000000000000000000000000000000001$$ es aún más pequeño. Y $$0.000000000000000000000000000000000000001$$ y $$0.0000000000000000000000000000000000000001$$ y $$0.00000000000000000000000000000000000000001$$ y $$0.000000000000000000000000000000000000000001$$ y $$0.0000000000000000000000000000000000000000001 \ldots$$

En teoría puedo hacer esto todo el día, pero en la práctica agotaría tu paciencia muy rápidamente si no lo he hecho ya.