Este no puede ser el tipo de prueba de la OP está buscando, pero podría ser de interés de todos modos.
Vamos a demostrar que $\sqrt2$ no puede tener una eventual repetición binario de expansión. (Estoy dando por sentado el teorema de que los números racionales son eventualmente repetir en cualquier base y los números irracionales no lo son). Es decir, $\sqrt2=1.0110101\ldots$ no se fija en ninguna de las $n$-bit de la repetición después de cualquier número finito de bits binarios, decir $m$.
Supongamos que lo hizo. Entonces, desde el ${1\over2^n}+{1\over2^{2n}}+\cdots={1\over2^n-1}$, tendríamos $2^m\sqrt2=M+{N\over2^n-1}$ para algunos (positivo) enteros $M$ $N$ ( $N\lt2^n$ ). Podemos asumir que nos hemos tomado $m$ a ser mínima. Vamos a mostrar que $m=0$ (y, por tanto,$M=1$, ya que el $1\lt\sqrt2\lt2$). Esto es debido a que el cuadrado ambos lados de $(2^n-1)2^m\sqrt2=2^nM+(N-M)$ da un número par de la mano izquierda, lo que implica $M$ $N$ debe tener la misma paridad. Esto significa que terminan en el mismo bit, $0$ o $1$. Así que si $m$ fueron mayores que los de $0$, podríamos mover el (binario) punto decimal a la izquierda y aún así tener una $n$-poco la repetición de la cadena.
Así que ahora sólo tenemos que considerar la posibilidad de $(2^n-1)\sqrt2=2^n+(N-1)$ para algunos enteros positivos $n$$N$, es decir, que la cadena binaria $.0110101\ldots$ es periódica con un periodo $n$, lo que claramente debe ser de al menos $5$. Como antes, $N$ debe ser impar, de modo que el lado derecho es, incluso, lo que significa que su plaza es congruente a $0$ o $4$ mod $8$, ya que el $n\gt3$. Pero el cuadrado de la izquierda es congruente a $2$ mod $8$, lo que da una contradicción.
Seguramente esta es la prueba de que ya en la literatura en algún lugar. Nadie puede suministrar una referencia?
