División de campo de$f(X)=X^4-X^3-5X+5$ y su grado.

Question

Deje $K$ ser una división de campo en $\mathbb C$ del polinomio $f(X)=X^4-X^3-5X+5$$\mathbb Q$.

• Construcción de la división de campo de $K$ y el grado de la extensión de $K:\mathbb Q$.

$f(X)=(X-1)(X^3-5)$, por lo tanto, tenemos raíces $\sqrt[3]{5},\sqrt[3]{5}\zeta_3$ $\sqrt[3]{5}\zeta_3^2$ donde $\zeta_3$ es la primitiva 3º de la raíz de la unidad. Por lo tanto nuestro campo de extensión es $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\zeta_3)$. Por la Torre de la Ley de $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\zeta_3)]=[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\zeta_3):\mathbb Q(\sqrt[3]{5})]\cdot[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}):\mathbb Q]=6$.

He olvidado algo importante?

• Encontrar el orden y la estructura de $Gal(K:\mathbb Q)$.

El orden de $Gal(K:\mathbb Q)$ 6 debido a que la extensión es normal y separables. Yo creo que los seis automorfismos son:

$id: \sqrt[3]{5} \mapsto \sqrt[3]{5} $ , $\zeta_3 \mapsto \zeta_3$

$\alpha: \sqrt[3]{5} \mapsto \zeta_3\sqrt[3]{5} $ , $\zeta_3 \mapsto \zeta_3$

$\alpha: \sqrt[3]{5} \mapsto \zeta_3^2\sqrt[3]{5} $ , $\zeta_3 \mapsto \zeta_3$

$\beta: \sqrt[3]{5} \mapsto \sqrt[3]{5} $ , $\zeta_3 \mapsto \zeta_3^2$

$\beta: \sqrt[3]{5} \mapsto \zeta_3^2\sqrt[3]{5} $ , $\zeta_3 \mapsto \zeta_3^2$

que es isomorfo al grupo simétrico $S_3$?

• Encontrar todos los subcampos de $K$ a través de la correspondencia de Galois.

Estoy tratando de conseguir mi cabeza alrededor de los campos fijos y la correspondencia de Galois, alguien podría mostrarme claramente cómo esta parte se hace?

• Encontrar todos los números construibles en $K$.

Supongo que esto se lleva adelante desde la parte anterior, sé edificable números deben ser de un grado que es una potencia de 2? Entonces, ¿sería que todos los elementos de a $K$ con una orden?

Espero que mis intentos no eran demasiado difíciles de seguir, cualquier ayuda sería genial!

Answer 1

Primero una revisión sobre lo que ya han hecho. Se encuentra el campo y el grado bien, tan bien hecho allí. Usted dice que hay seis automorfismos, pero sólo una lista de cinco (te estás perdiendo $\sqrt[3]{5}\mapsto\zeta_3\sqrt[3]{5}, \zeta_3\mapsto\zeta_3^2$). También, se han llamado a dos de los automorfismos $\alpha$, y dos de ellos $\beta$, lo que hace que sea un poco difícil hablar de cualquier aplicación específica.

Como para los campos fijos y subgrupos, echemos un vistazo a los subgrupos, vamos? Uno de los subgrupos es la identidad. Corrige todos los de $K$, por lo que es uno. A continuación hay tres subgrupo de orden $2$ y de orden $3$.

Uno de la orden de $2$ grupos es generado por $\zeta_3\mapsto \zeta_3^2$, que es básicamente el complejo de la conjugación. Claramente se mantiene a $\sqrt[3]{5}$ fija, por lo que se mantiene el $\Bbb Q(\sqrt[3]{5})$ fijo.

El próximo fin de $2$ grupo es generado por $\sqrt[3]{5}\mapsto\zeta_3\sqrt[3]{5}, \zeta_3\mapsto\zeta_3^2$. Esta vez no es tan inmediata a ver el fijo de subcampo, pero es $\Bbb Q(\zeta_3^2\sqrt[3]{5})$, desde el automorphism envía $\zeta_3^2\sqrt[3]{5}$ $$(\zeta_3^2)^2\cdot \zeta_3\sqrt[3]{5} = \zeta_3^5\sqrt[3]{5} = \zeta_3^2\sqrt[3]{5}$$

Supongo que se puede controlar el tercer subgrupo de orden $2$ por ti mismo ahora. Como para el subgrupo de orden $3$, que es generado por $\sqrt[3]{5}\mapsto \zeta_3\sqrt[3]{5}$, y el correspondiente campo fijo es $\Bbb Q(\zeta_3)$.

Finalmente, para la última parte, un número es edificable fib tiene un grado de energía de $2$$\Bbb Q$. Qué elementos de la $K$ tienen un grado $1$ o $2$? Hay elementos de grado $4$? ¿Qué acerca de los poderes superiores de $2$?