Si las raíces de $x^6=p(x)$ se dan a continuación, elija la opción correcta

Question

Si $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$ son reales positivos raíces de la ecuación de $x^6=p(x)$ donde $P(x)$ es de 5 grado del polinomio donde$\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{3}+\frac{x_3}{4}+\frac{x_4}{9}+\frac{x_5}{8}+\frac{x_6}{27}=1$$p(0)=-1$, a continuación, elija la opción correcta(s):

$(A)$ $x_5-x_1=x_3x_4$

$(B)$ Producto de las raíces de $P(x)=0$ $\frac{6}{53}$

$(C)$ $x_2,x_4,x_6$ se Geométrica Progeression

$(D)$ $x_1,x_2,x_3$ están en Progresión Aritmética

Ahora $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$ son reales positivos raíces de la ecuación de $x^6=p(x)$, así que la escribí como

$x^6-p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)$ pero no estoy recibiendo de cómo utilizar la condición de $\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{3}+\frac{x_3}{4}+\frac{x_4}{9}+\frac{x_5}{8}+\frac{x_6}{27}=1$ para obtener la respuesta. Podría por favor alguien que me ayude con esto?

Answer 1

$P(0)=-1$ da $x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 =1$ Ahora aplicar AM-GM a $ x_1/2+ x_2/3+ x_3/4+ x_4/9+ x_5/8 + x_6/27 =1$ \begin{eqnarray*} 1 = \frac{x_1}{2 }+ \frac{x_2}{3 }+ \frac{x_3}{ 4}+ \frac{x_4}{9 }+ \frac{x_5}{8 } + \frac{x_6}{27 } \geq \frac{6 \sqrt[6]{x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6}}{6} = 1. \end{eqnarray*} Para esta obligado a alcanzado cada uno de los términos en la suma debe ser$1/6$, por lo que tenemos \begin{eqnarray*} x_1= \frac{1}{3} ,x_2= \frac{1}{2} ,x_3= \frac{2}{3} ,x_4= \frac{3}{2} ,x_5= \frac{4}{3} ,x_6= \frac{9}{2} . \end{eqnarray*} La verificación rápida de la $x_5-x_1=1=x_3 x_4$.

$\sum x_i =53/6$ (B) también es cierto. ($p(x)=(x_1+ \cdots+x_6)x^5-\cdots-1$).

$x_2,x_4,x_6 = 1/2,3/2,9/2$ están en progresión geométrica (comunes relación de $3$).

$x_1,x_2,x_3 = 1/3,1/2,2/3$ están en arithematic de progresión ( la diferencia común $1/6$).

Por lo tanto todos los $\color{red}{4}$ afirmaciones son verdaderas.