Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales con retardo

Question

Al estar interesado en la teoría matemática, me preguntaba si existen modelos/teorías actualizados y no triviales en los que las ecuaciones diferenciales con retardo desempeñen un papel (PDE-s, o ecuaciones diferenciales funcionales más generales).

Está claro que

• En los modelos biológicos (de población), el embarazo suele introducir un término de retraso, o
• en la transición de la enfermedad en las redes el período de latencia introduce un retraso, o
• en ingeniería en los problemas de retroalimentación el procesamiento de señales introduce el retardo de tiempo.

Me gustaría ver una lista de respuestas donde cada respuesta contenga una referencia/ejemplo.

Answer 1

Voy a dar un ejemplo de modelado de materiales.

El caucho tiene la propiedad de que tarda en ajustarse a las condiciones a las que se le aplica (Visco-Elasticidad). Se conoce el comportamiento de estos efectos para las cargas estáticas (Relajación).

Sin embargo, con el elevado uso de los cauchos para aplicaciones dinámicas de ingeniería (ejemplo: neumáticos de automóviles) ha sido el nuevo enfoque para estudiar esta propiedad más a fondo utilizando cargas dinámicas y derivando un modelo de material adecuado ( Lion & Höfer , León y Rendek ).

Las EDP que surgen de esto son en parte puramente teóricas derivadas de un Modelo de Maxwell generalizado combinado con efectos fenomenológicos.

Answer 2

He visto que las ecuaciones diferenciales retardadas se utilizan para modelar láseres, en particular los de puntos cuánticos. Aquí es una bonita visión comparativa del uso de ecuaciones diferenciales retardadas frente a un modelo de diferencias finitas en los láseres de puntos cuánticos.

Answer 3

En dinámica de fluidos, a menudo es posible, para una geometría determinada, aislar diferentes grados de libertad y modelar los efectos de largo alcance mediante una influencia retardada. Un ejemplo de ello es el "oscilador de acción retardada" para el fenómeno de El Niño/Oscilación del Sur en oceanografía.

Para más detalles, consulte la página en la wiki de Azimuth aquí .

A menudo, los grados de libertad rápidos se modelan con ruido, es decir, el modelo consiste en una ecuación diferencial estocástica retardada. Un ejemplo de este modelo puede ser aquí en el arXiv.

Además de las aplicaciones en la ciencia del clima y la física estadística abstracta, este tipo de modelización también es importante en las aplicaciones de ingeniería, donde la simplificación es necesaria para obtener resultados numéricos en el tiempo, para un control exitoso de un sistema dado. Los detalles se pueden encontrar aquí:

• Harold J. Kushner: "Métodos numéricos para sistemas estocásticos de retardo controlados". (Systems & Control: Foundations & Applications. Boston, MA: Birkhäuser)

En esta monografía se pueden encontrar aplicaciones para sistemas biológicos:

• Hal: Smith: "An introduction to delay differential equations with applications to the life sciences". (Texts in Applied Mathematics 57. Nueva York, NY: Springer.)

Answer 4

He encontrado el siguiente documento de Frederik Beaujean y Nicolas Moeller bastante interesante.

Answer 5

No sé mucho sobre el tema, excepto que produce dos características interesantes que no son posibles con las ecuaciones diferenciales locales, principalmente que una ecuación simple como esta

$$ \frac{dx}{dt} = b(t) x(t-1) $$

para elecciones adecuadas de la función $b$ Esta ecuación puede tener muchos estados iniciales que produzcan el mismo estado final, por lo que producen automáticamente un comportamiento asimétrico en el tiempo. Aquí es una exposición más detallada y profunda de las dificultades, especialmente en lo que respecta al problema de los datos iniciales insuficientes.

Otro resultado interesante es que un oscilador armónico clásico con retardo tendrá un espectro discreto de soluciones, en lugar de una única. Leer este para debatir.