la forma cerrada de la evaluación de $\int_{-1}^{1} (x;x)_{\infty}\,dx$

Question

Esto fue provocado principalmente por el gráfico de la http://reference.wolfram.com/language/ref/QPochhammer.html lo que sugiere que la integral

$$\int_{-1}^1 (x;x)_\infty\,dx\approx 1.28830088867\ldots$$ es convergente. Es convergente a algo ordenado?

He usado $x$ en lugar de $q$ aquí porque $q$ es generalmente asociado con el hecho de estar en la unidad de disco en el plano complejo.

Viendo la parte fraccionaria de inicio con $0.288$ es algo sugerente, dado que el $(1/2,1/2)_{\infty}=0.2887880950866024\ldots$ (25 en entrada http://mathworld.wolfram.com/TreeSearching.html)

Answer 1

Resultado

El resultado de la integral

$$i = \int_{-1}^1 (x;x)_\infty\,dx $$

donde

$$(x;x) = \prod _{m=1}^{\infty } \left(1-x^m\right)\tag{1}$$

puede obtenerse en la forma cerrada de la siguiente manera

$$i = s = s_1 + s_2$$

donde

$$ s_1 =2 \sum _{k=-\infty }^{\infty } \frac{1}{24 k^2+2 k+1} = -\frac{1}{23} i \left(\sqrt{23} \pi \cot \left(\frac{1}{24} \left(\pi -i \sqrt{23} \pi \right)\right)-\sqrt{23} \pi \cot \left(\frac{1}{24} \left(\pi +i \sqrt{23} \pi \right)\right)\right)\tag{2}$$

que puede ser simplificado a

$$s_{1a} =\frac{2 \pi \sinh \left(\frac{\sqrt{23} \pi }{12}\right)}{\sqrt{23} \left(\cosh \left(\frac{\sqrt{23} \pi }{12}\right)-\frac{1+\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}\right)}\tag{2a}$$

y

$$s_2=2 \sum _{k=-\infty }^{\infty } \frac{1}{-24 k^2+34 k-13} = -\frac{1}{23} i \left(\sqrt{23} \pi \tan \left(\frac{1}{24} \left(5 \pi -i \sqrt{23} \pi \right)\right)-\sqrt{23} \pi \tan \left(\frac{1}{24} \left(5 \pi +i \sqrt{23} \pi \right)\right)\right)\tag{3} $$

que puede ser simplificado a

$$s_{2a} = -\frac{2 \pi \sinh \left(\frac{\sqrt{23} \pi }{12}\right)}{\sqrt{23} \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}+\cosh \left(\frac{\sqrt{23} \pi }{12}\right)\right)}\tag{3a}$$

Numéricamente,

$$N(s_1) = 2.2680458411340673629 ...$$ $$N(s_2) = -0.97974495246014613277...$$ $$N(s) = 1.28830088867392123018... $$

Derivación

Utilizando el teorema de Euler de pentagonal números [1], podemos escribir el producto como una suma

$$\prod _{m=1}^{\infty } \left(1-x^m\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty } (-1)^n x^{\frac{1}{2} n (3 n+1)}\tag{4}$$

El lado derecho puede integrarse término a término, dando el resultado como una suma infinita. Esto a su vez se puede descomponer en dos sumandos con los índices de $n = 4k$$n = 4k-3$.

Material relacionado se puede encontrar en [2] y [3].

Referencias

[1] http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html

Leer más

[2] https://arxiv.org/pdf/math/0505373.pdf, L. Euler (1775), En las notables propiedades de los números pentagonales

[3] MSE: Cómo probar de Euler pentagonal teorema? Algunos consejos le ayudará a