Fock espacio con una mezcla de anti-conmutación/relaciones de conmutación?

Question

Supongamos que tenemos dos modos, con el siguiente etiquetado de ocupación número de estados:

$ \lvert \Psi \rangle = \begin{pmatrix} 0,0 \\ 0,1 \\ 1,0 \\ 1,1 \end{pmatrix} $

Un ejemplo de (lo supongo) fermionic la creación de los operadores de los dos modos es

$\hat a_1^\daga = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \hat a_2^\daga = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Estos operadores obedecer completo anti-relaciones de conmutación.

$\{\hat a_1,\hat a_1^\dagger\} = \{\hat a_2,\hat a_2^\dagger\} = 1$

$a^\dagger_1 a^\dagger_1 = a^\dagger_2 a^\dagger_2 = 0$

$\{\hat a_1,\hat a_2^\dagger\} = \{\hat a_1,\hat a_2\} = 0$

Si no incluimos el ($-$) signo, entonces los operadores correspondientes a la misma el modo anti-tiempo de viaje, pero los correspondientes a los diferentes modos de desplazamiento.

$\hat b_1^\daga = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \hat b_2^\daga = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\{\hat b_1,\hat b_1^\dagger\} = \{\hat b_2,\hat b_2^\dagger\} = 1$

$b^\dagger_1 b^\dagger_1 = b^\dagger_2 b^\dagger_2 = 0$

$[\hat b_1^\dagger,\hat b_2^\dagger] = [\hat b_1^\dagger,\hat b_2] = 0$

Parece que hemos comenzado a construir un bosón de Fock espacio, pero sólo se incluye a los estados para que la ocupación números son 0 o 1. ¿Hay alguna razón por la que estos operadores no son adecuados, aparte de la observación de que todas las partículas elementales son fermiones o bosones? ¿Hay alguna cuasi-partículas en física de la materia condensada que se comportan de esta manera?

Answer 1

Los operadores de $b_i$ definido por la OP se corresponden con el álgebra de hardcore bosones, que es, bosones que no se puede poner en el mismo lugar.

Hardcore bosones se corresponden con el límite de infinito interacción ($U\to\infty$) de la de Bose-modelo de Hubbard $$ H=-t\sum_{\langle i,j\rangle}b^\dagger_i b_j-\mu\sum_i n_i+\frac U2 \sum_i n_i(n_i-1) , $$ con $n_i=b^\dagger_i b_i$.

Hardcore bosones también están relacionados con el $\frac12$giros, con la asignación de $b=\sigma^-$, $b^\dagger=\sigma^+$ y $b^\dagger b-\frac12=\sigma^z$. En particular, la de Bose-Hubbard modelo en el infinito de la interacción pueden ser visualizados en la XY modelo en el ámbito transversal (hasta un constante) $$ H_{XY}=-J\sum_{\langle i,j\rangle } (\sigma^x_i\sigma^x_j+\sigma^y_i\sigma^y_j)-h\sum_i \sigma^z_i. $$