Cómo integrar la $|x| \cdot x$

Question

Cómo integrar este manualmente? $$ \int |x|\cdot x ~dx $$

My tries so far:

$$ \int |x|\cdot x ~dx = (x^2/2)\cdot|x| - \int (x2/2)\cdot \mathop{\mathrm{signo}}(x) ~dx $$ Intenta de nuevo, pero el uso de sign(x) como primer parámetro, debido a que sign(x) no es derivable más. $$ \int \mathop{\mathrm{signo}}(x)\cdot(x2/2) ~dx =|x|\cdot (x^2/2) - \int |x|\cdot x ~dx $$ Genial, nada hubiera sido hecho.

Siguiente intento, el uso de la función signum $$ |x|\cdot x = \mathop{\mathrm{signo}}(x)\cdot x^2 $$

$$ \int \mathop{\mathrm{signo}}(x)\cdot |x| ~dx = x^2-\int|x|\cdot x^2~dx $$

$$ \int |x|\cdot x^2 ~dx =x2\cdot \mathop{\mathrm{signo}}(x)\cdot x^2-\int x^2\cdot \mathop{\mathrm{signo}}(x)\cdot 2x ~dx $$

lo que parece ser una interminable cadena de nuevo. Alguna idea?

Answer 1

$\begin{eqnarray} \int x|x|\,dx&=&\int x|x|\cdot\frac{x}{x}\,dx\\ &=&\int x^2\cdot\frac{|x|}{x}\,dx \end{eqnarray}$

Deje $u=|x|$. A continuación,$du=\frac{|x|}{x}\,dx$.

Así

\begin{eqnarray} \int x^2\cdot\frac{|x|}{x}\,dx&=&\int u^2\,du\\ &=&\frac{u^3}{3}+c\\ &=&\frac{1}{3}x^2|x|+c \end{eqnarray}

Answer 2

Para $x>0$, esto es la integral de la $x^2$$\frac{x^3}{3}$. Para $x<0$, es la integral de la $-x^2$,$-\frac{x^3}{3}$. Esto es sólo $\frac{|x^3|}{3}$

Answer 3

$$\begin{align*} \int x|x|\,dx &= \int_c^x t|t|\,dt \\ &= \begin{cases}\begin{cases} \int_c^x t^2\, dt, & c\ge 0 \\ \int_0^x t^2\,dt - \int_c^0 t^2\,dt, & c < 0\end{casos}, & x\ge 0 \\ \begin{cases} \int_x^0 t^2\, dt - \int_0^c t^2\,dt, & c\ge 0 \\ -\int_c^x t^2\,dt, & c < 0\end{casos}, & x< 0\end{casos} \\ y= \begin{cases}\begin{cases} \frac 13(x^3-c^3), & c\ge 0 \\ \frac 13(x^3 +c^3), & c < 0\end{casos}, & x\ge 0 \\ \begin{cases} -\frac 13(x^3+c^3), & c\ge 0 \\ -\frac 13(x^3-c^3), & c < 0\end{casos}, & x< 0\end{casos} \\ &= \frac 13|x|^3 + \text{const}\end{align*}$$

Answer 4

Voy a utilizar el signo de la función $\text{sgn} (x)$ ha intentado usar en su solución original al problema.

El signo de la función se define como $$\text{sgn} (x) = \begin{cases} -1, & x < 0\\ 0, & x = 0\\ 1 & x > 0. \end{casos}$$ Así vemos el signo de la función es independiente de $x$ para todos los verdaderos $x$. También, ya que para todo real $x$ hemos $$|x| = \text{sgn}(x) \cdot x,$$ la integral se puede escribir como $$\int x \cdot |x| \, dx = \int x \cdot (\text{sgn} (x) \cdot x) \, dx = \text{sgn}(x) \int x^2 \, dx.$$ La integración que hemos $$\int x \cdot |x| \,dx = \text{sgn}(x) \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^2}{3} \cdot (\text{sgn}(x) \cdot x) + C = \frac{x^2 |x|}{3} + C.$$