El recubrimiento de Galois induce un isomorfismo a nivel de (co)homología

Question

El escenario es el siguiente: tenemos una cubierta de Galois lisa de múltiples $p : Y \to X$ con grupo de automorfismo (de Galois) $G$ . Denotemos por $\Omega^*(X)$ y $\Omega^*(Y)$ los espacios de formas diferenciales sobre $X$ y $Y$ respectivamente. De alguna manera queremos expresar la cohomología de $X$ y $Y$ en términos unos de otros (ejemplo motivador : expresar la cohomología del espacio proyectivo en términos de la de la esfera). Esta pregunta está estrechamente relacionado, pero aquí nos preocupan los detalles técnicos de la afirmación. Por ahora sólo nos interesa la homología.

En primer lugar queremos una buena acción de $G$ en $\Omega^*(Y)$ . Creo que podemos definirlo de la siguiente manera : si $g$ es un automorfismo del espacio de cobertura de $Y$ podemos asociar un automorfismo $g^* : \Omega^*(Y) \to \Omega^*(Y)$ . La acción inducida por $G$ es una acción por tales automorfismos.

Denotemos ahora por $\Omega^*(Y)^G$ la subálgebra de formas diferenciales en $Y$ que son fijados por todos los automorfismos $g^*$ .

Reclamación : El mapa inducido $p^*:\Omega^*(X) \to \Omega^*(Y)^G$ es un isomorfismo.

Aquí es donde encuentro algunos problemas. En primer lugar puedo demostrar que $p^*(\Omega^*(X)) \subset \Omega^*(Y)^G$ (el mapa de cobertura $p$ y algún automorfismo $g$ de espacios de cobertura forman un diagrama conmutativo. Esto nos da un diagrama conmutativo "inverso" en homología con $p^*$ y $g^*$ de lo que se deduce la inclusión). Sin embargo, la inclusión inversa parece difícil. Puede que en algún momento tengamos que utilizar el hecho de que $p$ es Galois ( $Y=X/G$ ) pero se vuelve más confuso a medida que avanzo.

Además, deberíamos ser capaces de encontrar una inversa explícita para $p^*$ pero soy incapaz de hacerlo. ¿Es razonable mi acción de grupo? Cualquier ayuda en cualquier dirección será muy apreciada.

Answer 1

He aquí un esbozo muy rápido de la prueba -esperemos que correcta- del isomorfismo (¡las críticas son bienvenidas y muy alentadoras!). Para evitar confusiones "la acción de $G$ " denotará la acción estándar por automorfismos sobre Y, y "la acción de $G^*$ "denotará la acción de los automorfismos inducidos $g^*$ en $\Omega^*(Y)^G$ . Intentaremos construir el inverso de forma explícita (localmente, para luego pegarlo todo).

• Toma $U$ en $X$ un conjunto abierto trivializador para $p$ . Denotemos por $V$ una de las hojas de $Y|_U$ . Tome un formulario $\omega \in \Omega^*(V)^G$ .
• Recordemos que las formas en $\Omega^*(Y)^G$ se fijan por la acción de $G^*$ . Además, puesto que $p$ es Galois, la acción de $G$ en $Y$ es transitiva. En particular, esto nos da que la elección de $V$ no importa, porque $\omega$ será el mismo en todas las hojas.
• Ahora $p$ es un homeomorfismo $V \to U$ Así que $p^{-1}|_U : U \to V$ existe y también $(p^{-1}|_U)^*:\Omega^*(V)^G \to \Omega^*(U)$ . Por el punto anterior, esto produce un isomorfismo $\Omega^*(Y|_U)^G \to \Omega^*(U)$ .
• Podemos repetir la construcción para otra trivialización abierta $U'$ en $X$ . Formularios arriba en $Y$ se pegarán porque están definidos globalmente, y por tanto se pegarán abajo en $X$ . Así obtenemos un isomorfismo $\Omega^*(Y)^G \to \Omega^*(X)$ .

Este resultado es interesante porque nos permite demostrar la "mitad" del siguiente resultado, más difícil en cohomología.

Teorema : La inclusión $i :\Omega^*(Y)^G \hookrightarrow \Omega^*(Y)$ induce un mapa $i^* : H^*(\Omega^*(Y)^G) \to H^*(Y)^G$ en cohomología. Además, si el grupo $G$ es finito, tenemos un $$ H^*(X) \cong H^*(\Omega^*(Y)^G) \cong H^*(Y)^G $$

Podemos demostrarlo con un poco de trabajo técnico (considerando formas "ponderadas" $\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g.\omega$ ). Pero esto es para otra ocasión. Como aplicación directa de este resultado, podemos calcular $H^*(\mathbb{P}^n(\mathbb{R}))$ gracias a la de $S^n$ como se explica en la pregunta vinculada.