Encontrar las raíces reales de $\displaystyle \sqrt[4]{386-x}+\sqrt[4]{x}=6.$

Question

Encontrar las raíces reales de $\displaystyle \sqrt[4]{386-x}+\sqrt[4]{x}=6.$

Pregunta de un Olimpíadas de Matemáticas (ES, 2005). Respuesta: $(3\pm \sqrt{2})^4$.

Mi intento: voy a hacer mi intento de abajo, pero creo que el enfoque podría ser demasiado complicado... hay acercamientos simples?

Comencé a hacer la sustitución $$u=\sqrt[4]{386-x},~~v=\sqrt[4]{x}$$ de modo que $u^4+v^4=386$.

Por lo tanto, podemos definir un sistema de 2 ecuaciones, en fin espero encontrar $u$$v$: $$\left\{ \begin{array}{l} u+v=6 \\ u^4+v^4=386\\ \end{array} \right. $$ Si utilizamos $p_k=u^k+v^k$ y $e_0=1$, $e_1=(u+v)$, $e_2=uv$, por Newton-Girard identidades obtenemos $$ \left\{ \begin{array}{l} p_4=e_1p_3-e_2p_2\\ p_3=e_1p_2-e_2p_1\\ p_2=e_1p_1-e_2\times 2\\ \end{array} \right. $$ Pero como sabemos que $p_1=e_1=u+v=6$, podemos hacer las sustituciones hacia atrás, así que $$ \left\{ \begin{array}{l} p_2=36-2 uv\\ p_3=6(36-2uv)-6uv=216-18uv\\ p_4=6(216-18uv)-uv(36-2 uv)\\ \end{array} \right. $$ Pero, como sabemos que $p^4=u^4+v^4=386$, por lo que la sustitución de $z=uv$ y algunas simplificaciones de la última ecuación es equivalente a $$-z^2+72z-455=0.$$ La solución de esta última ecuación podemos encontrar las raíces $7$$65$, por lo $uv$ va a tener, potencialmente, estos dos valores. Ahora como sabemos que $u+v=6$, se puede establecer un sistema para resolver por $u$$v$: $$ \left\{ \begin{array}{l} u+v=6\\ uv=7~~\text{or}~~65\\ \end{array} \right. $$ Que puede ser resuelto darse cuenta de la $u$ $v$ son las raíces de $P(z)=z^2-(u+v)z+uv$. Cuando $uv=65$, $P(z)$ sólo tiene raíces complejas. Cuando $uv=7$, $P(z)$ tiene 2 raíces reales. Cuando el uso de $uv=7$ las raíces $(u,v)$$P(z)$, por la simetría, ya sea $$(3-\sqrt{2},3+\sqrt{2})~~\text{or}~~(3+\sqrt{2},3-\sqrt{2}).$$ Pero como $x=v^4$ sería la solución final $$x=(3\pm \sqrt{2})^4=193\pm 132\sqrt{2}.$$

Ambas soluciones cumplir con la inicial restritions para el argumento de los radicales: $0\le x\le 386$.

Preguntas: (a) es el desarrollo correcto? al menos la respuesta final de los partidos Wolphram Alpha; (b) existen otros enfoques? otras soluciones son bienvenidas.

Lo siento si esto es un duplicado.

Answer 1

Muy bonito! Lo único que puedo agregar a esto es que me han tratado con $u^4+v^4$ en una manera que es, creo yo, más sencillo que el tuyo. Observar que\begin{align}u^4+v^4&=(u+v)^4-uv(4u^2+4v^2+6uv)\\&=(u+v)^4-uv\bigl(4(u+v)^2-2uv)\bigr)\\&=1\,296-uv(144-2uv)\\&=1\,296-144uv+2(uv)^2.\end{align}por Lo tanto, esto conduce a la ecuación de $2(uv)^2-144uv+1\,296=386$, lo que equivale a$$(uv)^2-72uv+455=0.$$

Answer 2

$$\sqrt[4]{386-x}+\sqrt[4]{x}=6$$

Con una esperanza de resolver la ecuación con sólo uno permaneció desconocido, aviso de ambos términos en la izquierda se resumen a una constante, se puede expresar como la distancia desde la mitad de la $6$,$3$.

Deje $\sqrt[4]{386-x}=3-t,\sqrt[4]{x}=3+t$

$$(t-3)^4+(t+3)^4=386\tag1$$ $$t^4+54t^2-112=0$$ $$(t^2+27)^2=112+27^2$$

Ya que estamos en busca de las raíces reales $$t^2=-27+\sqrt{112+27^2}=2\implies t=\pm\sqrt2$$

Así $$\sqrt[4]{x}=3\pm\sqrt2\implies x=(3\pm\sqrt2)^4$$

*Como se ve en $(1)$, la sustitución permite la cancelación de términos cuando tanto la expresión agregar.

Answer 3

Yo simplemente deje $x=u^4$ y la esperanza de que $386-u^4=(6-u)^4$ es fácil factor. La expansión y la recolección de primera a

$$2u^4-24u^3+216u^2-864u+910=0$$

podemos esperar una factorización

$$u^4-12u^3+108u^2-432u+455=(u^2-au+b)(u^2-cu+d)$$

a partir de la cual sería fácil identificar las verdaderas raíces. (Con la esperanza de una raíz entera dejaría un cúbicos con una raíz real para resolver, por lo que es mejor esperanza para una factorización en un par de cuadráticas.)

La factorización $u^4+1\equiv(u^2+1)^2$ mod $2$ nos dice $a$ $c$ son ambos inclusive, y el de la factorización de la $u^4\equiv (u^2-1)(u^2+1)$ mod $3$ nos dice $a$ $c$ son múltiplos de $3$. Esto deja dos posibilidades:

$$u^4-12u^3+108u^2-432u+455=(u^2+b)(u^2-12u+d)$$

y

$$u^4-12u^3+108u^2-432u+455=(u^2-6u+b)(u^2-6u+d)$$

El segundo de ellos, de alguna manera, parece más probable. Es satisfecho si $108=b+d+36$, $432=6(b+d)$, y $bd=455$. Estamos de suerte: los requisitos de $108=b+d+36$ $432=6(b+d)$ están de acuerdo; tanto decir $b+d=72$. Por lo $b$ $d$ son raíces de la ecuación cuadrática

$$v^2-72v+455=(v-7)(v-65)$$

Por lo tanto, tienen

$$u^4-12u^3+108u^2-432u+455=(u^2-6u+7)(u^2-6u+65)$$

y estamos a punto de hacer. El cuadrática $u^2-6u+65$ tiene raíces complejas cuyas partes real e imaginaria son tanto distinto de cero (por lo que su cuarto poderes no son no-negativos de los números reales), mientras que las raíces de $u^2-6u+7$$u=3\pm\sqrt2$. Por lo tanto $x=(3+\sqrt2)^4$ $x=(3-\sqrt2)^4$ son las verdaderas raíces de la ecuación original.