$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2+1} + \frac{4}{x^4+1} + \cdots $ hasta $n$ términos en términos de $x$ y $n$ .

Question

Hay una serie que no encuentro la forma de sumar. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Es la siguiente $$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2+1} + \frac{4}{x^4+1} + \cdots $$ hasta $n+1$ términos. La suma debe expresarse en términos de $x$ y $n$ . He intentado establecer una fórmula para el $n$ -a plazo y la fijación en una diferencia, pero se encontró con un callejón sin salida.

Answer 1

Una pista:

Si $f(x)=\dfrac1{1+x}+\dfrac2{1+x^2}+\dfrac4{1+x^4}+\cdots+\text{ up to } n+1\text{ terms}$

$$\dfrac1{1-x}+f(x)=\dfrac1{1-x}+\dfrac1{1+x}+\left(\dfrac2{1+x^2}+\dfrac4{1+x^4}+\cdots+\text{ up to } n+1\text{ terms}\right)$$

$$=\dfrac2{1-x^2}+\dfrac2{1+x^2}+\left(\dfrac4{1+x^4}+\cdots+\text{ up to } n\text{ terms}\right)$$

$$=\dfrac4{1-x^4}+\dfrac4{1+x^4}+\left(\dfrac8{1+x^8}+\cdots+\text{ up to } n-1\text{ terms}\right)$$

Answer 2

Por inducción, está bastante claro que

$$ x^{2^{n+1}}-1 = (x-1)\prod_{k=0}^{n} \left(x^{2^k}+1\right) \tag{A}$$ y aplicando $x\cdot\frac{d}{dx}\log(\cdot)$ a ambos lados tenemos: $$\frac{2^{n+1}x^{2^{n+1}} }{x^{2^{n+1}}-1}=\frac{x}{x-1}+\sum_{k=0}^{n}\frac{2^k x^{2^k}}{x^{2^k}+1} \tag{B}$$ y sustituyendo $x$ con $\frac{1}{z}$ : $$\frac{2^{n+1}}{1-z^{2^{n+1}}}=\frac{1}{1-z}+\sum_{k=0}^{n}\frac{2^k}{z^{2^k}+1}. \tag{C}$$

Answer 3

Un complemento a la bonita respuesta de @labbhattacharjee. Vemos un ejemplo de telescópico basado en \begin {align*} \color {Azul}{ \frac {2^k}{1-x^{2^k}}+ \frac {2^k}{1+x^{2^k}} = \frac {2^k \left (1+x^{2^k} \right )+2^k \left (1-x^{2^k} \right )}{ \left (1-x^{2^k} \right ) \left (1+x^{2^k} \right )} & \color {azul}{= \frac {2^{k+1}}{1-x^{2^{k+1}}}} \tag {1} \end {align*}

Obtenemos según (1) \begin {align*} \color {Azul}{ \sum_ {k=0}^n \frac {2^k}{1+x^{2^k}}&= \sum_ {k=0}^n \left ( \frac {2^{k+1}}{1-x^{2^{k+1}}}- \frac {2^k}{1-x^{2^k}} \right ) \\ &= \sum_ {k=0}^n \frac {2^{k+1}}{1-x^{2^{k+1}}}- \sum_ {k=0}^n \frac {2^k}{1-x^{2^k}} \\ &= \sum_ {k=1}^{n+1} \frac {2^{k}}{1-x^{2^{k}}}- \sum_ {k=0}^n \frac {2^k}{1-x^{2^k}} \tag {2} \\ & \color {azul}{= \frac {2^{n+1}}{1-x^{2^{n+1}}}- \frac {1}{1-x}} \tag {3} \end {align*}

Comentario:

• En (2) desplazamos el índice de la suma de la izquierda para comenzar con $k=1$ .

• En (3) hacemos la telescopia.