¿Por qué se describen las propiedades topológicas mediante términos de superficie?

Question

Un ejemplo son las anomalías en las teorías cuánticas de campo abelianas y no abelianas.

Por ejemplo, la anomalía abeliana es $\tilde {F}_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ y la integral sobre esta cantidad es un invariante topológico que mide una característica topológica del campo gauge $A_\mu$ .

Todas estas cantidades pueden reescribirse como derivadas totales y luego, utilizando la ley de Gauss, transformarse en una integral de superficie.

¿Cuál es la razón intuitiva de que las cantidades que describen las propiedades topológicas puedan escribirse siempre como integrales de superficie?

Answer 1

Te estoy dando una respuesta desde el punto de vista de la cuantificación integral de la trayectoria.

Cuando cuantificamos una teoría gauge, tenemos que sumar sobre todas las configuraciones de conexiones de un grupo gauge en alguna variedad modulada por la transformación gauge.

En contraste con el espacio afín de todas las conexiones (sin dividir por transformación gauge), este último espacio (de conexiones módulo de transformación gauge) puede desconectarse correspondiendo a diferentes sectores de haces que no pueden deformarse entre sí por cualquier combinación de difeomorfismo de la variedad base o deformaciones continuas de las funciones de transición de la fibra.

En la teoría cuántica, es absolutamente necesario sumar sobre todos los sectores topológicos en la integral de trayectoria. Por ejemplo, si no lo hacemos en el problema de una partícula que se mueve en un círculo, no obtenemos la respuesta correcta que da la ecuación de Schrödinger.

Chern y Weil (véase exposición de Fecko) descubrió un profundo teorema según el cual existen invariantes topológicas que diferencian los haces principales o vectoriales, con el mismo grupo de estructura, que pueden expresarse mediante ciertos polinomios de la curvatura de la conexión. Estos invariantes topológicos no dependen de la conexión (son invariantes gauge) ni de las intensidades de campo, sino sólo del haz. Además, estas invariantes topológicas -denominadas clases características- pueden expresarse mediante clases de cohomología de la variedad base (por eso son cerradas).

Así, podemos utilizar estos invariantes para ponderar diferentes haces en la integral de trayectoria porque no dependen de las conexiones ni de los campos sino sólo de los haces.

Hay otros invariantes topológicos que no pueden escribirse en términos de formas diferenciales, como las clases de Stiefel-Whitney, de las que depende la existencia de fermiones en la variedad. Estas invariantes también afectan a la integral de trayectoria, pero se necesitan técnicas más avanzadas para tenerlas en cuenta.

Vale la pena mencionar que no toda forma cerrada en la variedad base es una imagen de una clase característica (o puede escribirse como una combinación de clases características). Así, como términos topológicos, podemos considerar sólo tipos especiales de formas cerradas.

Answer 2

Prácticamente cada vez que un físico dice "invariante topológico", se refiere a un invariante topológico de un haz vectorial (el haz vectorial en el que los campos toman valores, normalmente), siendo los más comunes el Clases de Chern .

Las clases de Chern se pueden expresar como integrales de polinomios en la curvatura (no importa qué curvatura, así que aunque la teoría física no contenga un campo gauge, se puede simplemente elegir/construir uno ad hoc) $\int F\wedge F$ y resulta que estos polinomios de la curvatura son derivados locales totales de sus asociados Formas de Chern-Simons . Así pues, en el nivel de rigor de la física, donde ahora se suele prescindir de lo "local", las integrales de los polinomios de curvatura que dan lugar a las clases de Chern son integrales de derivadas totales, por lo que son "términos de frontera". La historia matemática más profunda de por qué los polinomios de curvatura que representan clases integrales de cohomología de un haz en cohomología de DeRham deben ser tales derivadas totales es la historia de clases de características secundarias y cohomología diferencial .

Sin embargo, hay que destacar que, si intentamos ser un poco más rigurosos que el físico medio, las clases de Chern no son "términos de superficie". De hecho, esa terminología no tiene ningún sentido porque son invariantes de haces vectoriales sobre variedades ordinarias, y las variedades ordinarias no tienen límite: cualquier "término de superficie" simplemente desaparece en una variedad compacta, y está potencialmente mal definido en las no compactas. Lo que realmente ocurre es que, una vez más, el físico oculta la propiedad global de un haz sobre algo como el espaciotiempo compactado $S^4$ con sólo mirarlo en uno de los parches de coordenadas, sacando toda la estructura del segundo parche necesario "hasta el infinito", es decir, "hasta la superficie", precisamente como en esta respuesta mía a su pregunta sobre las grandes transformaciones gauge.

Además, "término de superficie" suele conllevar algún tipo de connotación de que la elección de la función en la superficie sigue siendo importante, pero no es así, la clase de Chern es independientemente de la elección de la conexión como un verdadero topológico invariante debe ser, es únicamente una función de la clase de homeomorfismo topológico del haz. El uso de algún tipo de campo/curvatura gauge para calcular el invariante topológico es simplemente una muleta porque suele ser más fácil que los cálculos topológicos "más puros", especialmente para los físicos que no conocen esa topología.

Answer 3

Esta no es una respuesta completa, pero la daré para contemplar algunos aspectos no contemplados en las anteriores (buenas) respuestas y mencionados explícitamente en el comentario del OP:

Me pregunto por qué una cantidad topológica, como la ""anudabilidad de líneas de vórtice en el flujo" o el "bobinado de las funciones gauge" está completamente determinada por una integral de superficie, es decir, completamente codificada en la frontera del sistema

En este caso, las invariantes topológicas a las que se refiere están relacionadas con clases de homotopía . Específicamente, en el caso de las teorías gauge, buscamos soluciones de energía finita (o tensión en el caso de una línea de vórtice) y esto impone algunas restricciones en los campos asintóticos. Cada término (no negativo) de la densidad hamiltoniana $\mathcal H$ tiene que desaparecer con suficiente rapidez a medida que los campos se acercan al infinito espacial. En particular, el potencial $V$ tiene que desaparecer asintóticamente. Esto significa que el campo escalar pertenece a la variedad de vacío cuando $r\rightarrow\infty$ . Este campo asintótico proporciona un mapa desde el infinito espacial (que depende de la dimensión espacial del modelo) al colector de vacío y las diferentes configuraciones (los diferentes mapas) se clasifican en clases equivalentes según los grupos de homotopía. Los mapas que pertenecen a clases diferentes no pueden deformarse continuamente unos en otros y por eso se dice que los mapas no triviales (número sinuoso no trivial, por ejemplo) son topológicamente estables o protegidos. Como se puede ver, los invariantes topológicos (es decir, las clases de homotopía) en estos modelos están codificados en los campos asintóticos o en la frontera del sistema.