Pregunta sobre Ley distributiva en la definición de un anillo

Question

En la definición de un anillo $R$, uno tiene

1. $a(b+c) = ab + ac$ y
2. $(a+b)c = ac + bc$

para todos los $a,b,c\in R$

Mi pregunta es (sólo por curiosidad) si uno necesita ambas. No puedo pensar en un ejemplo de algo que no es un anillo que satisface sólo uno de los lados de la Ley distributiva. Así puede uno probar eso si $a(b+c) = ab + ac$ % todo $a,b,c$, entonces el $(a+b)c = ac + bc$ % todos $a,b,c$.

Edit: quizás debo agregar que todos los anillos en mi definición tienen una unidad $1$.

Answer 1

Aquí hay un ejemplo que no precisamente en distributividad izquierda.

$\mathbb{R}[X]$ - Los polinomios con coeficientes de $\mathbb{R}$ con el funcionamiento habitual de la adición del pointwise de considerar (de hecho, el anillo de escalares es irrelevante aquí).

La parte difícil es cómo definimos la multiplicación: que $p \cdot q$ ser la composición $p \circ q$. Esta multiplicación es asociativa y tiene incluso una identidad, que es la identidad polinómica $p(x)=x$.

Ahora, trivial $$(p_1 + p_2) \circ q = p_1 \circ q + p_2 \circ q,$$ but in general $% $ $p \circ (q_1 + q_2) \color{red} \neq p \circ q_1 + p \circ q_2.$