Tengo esta tarea en mi obligando a la clase:
- Deje $G\subseteq P$ ser genérico sobre M. Muestran que hay un cardenal de M, $\lambda$ para todo el conjunto de los números ordinales $X\in M\left[G\right]$ hay un conjunto $Y\in M$ s.t. $X\subseteq Y$ $\left|Y\right|^{M}\le\max\left(\lambda,\left|X\right|\right)$. Deducir de este hecho que lo suficientemente grande cardenales de $M$ siendo cardenales en $M\left[G\right]$.
- Deje $G\subseteq P$ ser un filtro genérico más de $M$. Mostrar que hay existe un cardenal de $M$, $\lambda$ para todo conjunto de números ordinales $X\in M\left[G\right]$ no es de la familia $\mathcal{F}\in M$ de los conjuntos de de los ordinales s.t. $\left|\mathcal{F}\right|\le\lambda $ $X$ es la unión de una subfamilia $\mathcal{F}^{\prime}\subseteq\mathcal{F}$ tal que $\mathcal{F}^{\prime}\in M\left[G\right]$.
He terminado (creo) la primera pregunta:
En todo el ejercicio, si $x\in M\left[G\right]$ vamos a denotar por $x^{\circ}$ el P-nombre s.t. $\left[x^{\circ}\right]_{G}=x$. Si $x\in M$ vamos a veces el uso de la notación $\check{x}$ en lugar de $x^{\circ}$. Para cualquier P-nombre de $n$, $C_{n}$ sería el coresponding constante símbolo en el lenguaje de forzamiento.
Deje $\lambda$ ser un cardenal en $M$ s.t. todos los anti-cadena de $P$ en $M$ es de longitud en la mayoría de las $\lambda$. Deje $X$ ser un conjunto de ordinales en $M\left[G\right]$, $\mu=\left|X\right|^{M\left[G\right]}$ y $f\in M\left[G\right]$ la función que se muestra esta cardinalidad, $f:\mu\rightarrow X$ y en $X$. Denotar por $\psi\left(x,y,z\right)$ la primera orden de la fórmula que indica que $x$ es una función que dominio es $y$ $z$ y es a $z$. A continuación, $M\left[G\right]\models\psi\left(C_{f^{\circ}},C_{\check{\mu}},C_{X^{\circ}}\right)$ y así, a partir de la verdad lema, existe $p\in G$ s.t. $p\Vdash\psi\left(C_{f^{\circ}},C_{\check{\mu}},C_{X^{\circ}}\right)$. Ahora, por cada $\alpha\in\mu$ definir $E_{\alpha}=\left\{ \beta:\beta\in On\land\left(\exists q\le p\right)\left(q\Vdash C_{\check{\left\langle \alpha,\beta\right\rangle }}\in C_{f^{\circ}}\right)\right\} $. Desde el definability lema, $\left(\exists q\le p\right)\left(q\Vdash\beta\in rng\left(C_{f^{\circ}}\right)\right)$ es definible en $M$ e lo $E_{\alpha}\in M$. Para cada $\alpha\in\mu$ y $\beta\in E_{\alpha}$ definir $q_{\alpha,\beta}$ a ser un whitness de $\beta\in E_{\alpha}$ lo que significa que $q_{\alpha,\beta}\le p$ y $q_{\alpha,\beta}\Vdash C_{\check{\left\langle \alpha,\beta\right\rangle }}\in C_{f^{\circ}}$. A continuación, $D_{\alpha}=\left\{ q_{\alpha,\beta}:\beta\in E_{\alpha}\right\} $ es un anti-cahin. De hecho, asumen en la contradicción que existe $\gamma,\delta\in E_{\alpha}$ s.t. $\gamma\neq\delta$ y existe $r\le q_{\alpha,\gamma}$ con $r\le q_{\alpha,\delta}$. A continuación, $r\Vdash C_{\check{\left\langle \alpha,\gamma\right\rangle }}\in C_{f^{\circ}}$ debido a $r\le q_{\alpha,\gamma}$ $r\Vdash C_{\check{\left\langle \alpha,\delta\right\rangle }}\in C_{f^{\circ}}$ debido a $r\le q_{\alpha,\delta}$ en contradicción con el hecho de $r\Vdash"C_{f^{\circ}}\text{ is a function"}$ (esto es debido a que $r\le p$). Por lo tanto $\left|D_{\alpha}\right|\le\lambda$ y desde que llegamos a la conclusión de que $\left|E_{\alpha}\right|\le\lambda$ así ( $q_{\alpha,\beta}\neq q_{\alpha,\gamma}$ $\beta\neq\gamma$ como bien debido a $q_{\alpha,\beta}\perp q_{\alpha,\gamma}$ y por lo tanto $\left|E_{\alpha}\right|=\left|D_{\alpha}\right|$). Ahora, definir $Y=\bigcap_{\alpha<\mu}E_{\alpha}$. A continuación, para cada $\beta\in X$ existe $\alpha\in\mu$ s.t. $M\left[G\right]\models C_{\check{\left\langle \alpha,\beta\right\rangle }}\in C_{f^{\circ}}$ lo que significa que existe $r\in G$ s.t. $r\Vdash C_{\check{\left\langle \alpha,\beta\right\rangle }}\in C_{f^{\circ}}$ y por lo tanto (debido a $G$ es un filtro) existen $q\le r$, $q\le p$ y a continuación, $q\Vdash C_{\check{\left\langle \alpha,\beta\right\rangle }}\in C_{f^{\circ}}$ lo que significa que $\beta\in E_{\alpha}\subseteq Y$ y el de la generalidad de $\beta$ siguiente $X\subseteq Y$. Finalmente, $$\left|Y\right|\le\lambda\cdot\mu=\max\left(\lambda,\mu\right)=\max\left(\lambda,\left|X\right|\right)$$ Ahora, vamos a $\kappa>\lambda$ ser un cardenal y asumir en contradicción no es un cardenal en $M\left[G\right]$. A continuación, $\left|\kappa\right|^{M\left[G\right]}<\kappa$ y a partir de lo que hemos demostrado anteriormente, existe $Y\in M$ s.t. $\left|Y\right|^{M}\le\max\left\{ \lambda,\left|\kappa\right|^{M\left[G\right]}\right\} $ y $\kappa\subseteq Y$. Entonces $$\left|\kappa\right|^{M}\le\left|Y\right|^{M\left[G\right]}\le\max\left\{ \lambda,\left|\kappa\right|^{M\left[G\right]}\right\} <\kappa$$ en contradicción con el hecho de $\kappa$ es un cardenal. $\square$
Pero estoy totalmente perdido con la segunda pregunta. Se supone que debe ser similar en algún sentido, pero no puedo ver por qué. He intentado hacer el mismo truco con la función de $\mu$ a X (he probado con un bijection de $\mu$ a X y con un bijection de X a $\mu$) Pero no soy capaz de crear cualquier conjunto infinito, en M, que puedo asegurar que es totalmente incluido en X.
Podría alguien ayudarme con eso por favor?
