Si $f$ se define en el Medio Plano Superior y $f(in)=e^{-n},$ encontrar $f(1+i)$

Question

Dejemos que $f$ sea una función analítica acotada en el semiplano superior. Supongamos que $f(in)=e^{-n}$ para todos $n\in \mathbb{N}$ . Encuentre $f(1+i)$ y explica por qué el valor que has encontrado es el único posible.

No sé cómo proceder. Tengo dos ideas, pero no creo que tengan ninguna esperanza. Deja que $g(z)=f(z)-e^{-z}$ . Entonces $g(in)=0$ para $n\in \mathbb{N}$ . No puedo aplicar el teorema de la identidad a $g$ ya que el punto límite de su conjunto cero es $\infty$ que no pertenece al semiplano superior.

La otra idea era aplicar la transformación de Cayley $\frac{z-i}{z+i}$ a $g$ pero en este caso el punto límite se convierte en $1$ que no pertenece a la frontera del disco unitario. En cualquiera de los dos casos, no se puede aplicar el teorema de la identidad. Se agradece cualquier aportación.

Answer 1

En primer lugar, tiene una pequeña errata en su definición de $g$ . Poner $g(z)=f(z)-e^{iz}$ . Entonces $g(in)=0$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . Además $g$ está acotado en el semiplano superior, ya que $$|e^{iz}| = |e^{i(x+iy)}| = e^{-y} \le 1.$$ Lo que queda es explotar los límites de $g$ . Los ceros de una función holomorfa acotada no nula satisfacen La condición de Blaschke . Si se traslada esa condición al plano medio superior (véase por ejemplo este ) se obtiene $$\sum_{j=1}^{\infty} \operatorname{Im}\bigg( \frac1{\alpha_j} \bigg) < \infty$$ donde $\alpha_j$ son los ceros. En tu ejemplo, la serie diverge, lo que obliga a $g$ para desaparecer idénticamente. Por lo tanto, $f(1+i)=e^{i(1+i)}$ .

Como ejercicio, demuestre que hay otras sin límites funciones que satisfacen las condiciones.

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Más detalles: Lo anterior no es del todo cierto. Para el disco, la condición de Blaschke es $\sum_j (1-|\alpha_j|) < \infty$ . Utilizando la transformada de Cayley $z \mapsto (z-i)/(z+i)$ efectivamente transforma la condición en el semiplano superior en $$\sum_j 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| < \infty.$$ Para la pregunta concreta, podemos comprobar directamente que $$\sum_j 1 - \Big| \frac{ij-i}{ij+i} \Big| = \sum_j 1 - \Big| \frac{j-1}{j+1} \Big| = \sum_j \frac{2}{j+1} = \infty.$$

Para el caso general, la condición que publiqué originalmente es más bonita que la anterior, pero podemos comprobar que son casi equivalentes:

En primer lugar, $$1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big|^2 = \frac{|\alpha_j+i|^2 - |\alpha_j-i|^2}{|\alpha_j+i|}^2 = \frac{4\operatorname{Im} \alpha_j}{|\alpha_j+i|^2}$$ y como $$1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big|^2 = \bigg( 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| \bigg) \bigg( 1 + \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| \bigg)$$ vemos que $$1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| \le 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big|^2 \le 4\bigg( 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| \bigg)$$ por lo que nuestra serie converge si y sólo si $$\sum_j 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big|^2 = \sum_j \frac{4\operatorname{Im} \alpha_j}{|\alpha_j+i|^2}$$ lo hace.

Ahora bien, esta última serie converge si y sólo si: $$\sum_{|\alpha_j| < 1} \operatorname{Im}(\alpha_j) < \infty \quad\text{and}\quad \sum_{|\alpha_j|\ge 1} \operatorname{Im}\bigg( \frac1{\alpha_j} \bigg) < \infty,$$ así que, por ejemplo, si sólo hay un número finito de ceros en el disco unitario, la condición que publiqué originalmente es suficiente.