En primer lugar, tiene una pequeña errata en su definición de $g$ . Poner $g(z)=f(z)-e^{iz}$ . Entonces $g(in)=0$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . Además $g$ está acotado en el semiplano superior, ya que $$|e^{iz}| = |e^{i(x+iy)}| = e^{-y} \le 1. $$ Lo que queda es explotar los límites de $g$ . Los ceros de una función holomorfa acotada no nula satisfacen La condición de Blaschke . Si se traslada esa condición al plano medio superior (véase por ejemplo este ) se obtiene $$ \sum_{j=1}^{\infty} \operatorname{Im}\bigg( \frac1{\alpha_j} \bigg) < \infty $$ donde $\alpha_j$ son los ceros. En tu ejemplo, la serie diverge, lo que obliga a $g$ para desaparecer idénticamente. Por lo tanto, $f(1+i)=e^{i(1+i)}$ .
Como ejercicio, demuestre que hay otras sin límites funciones que satisfacen las condiciones.
Más detalles: Lo anterior no es del todo cierto. Para el disco, la condición de Blaschke es $\sum_j (1-|\alpha_j|) < \infty$ . Utilizando la transformada de Cayley $z \mapsto (z-i)/(z+i)$ efectivamente transforma la condición en el semiplano superior en $$ \sum_j 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| < \infty. $$ Para la pregunta concreta, podemos comprobar directamente que $$ \sum_j 1 - \Big| \frac{ij-i}{ij+i} \Big| = \sum_j 1 - \Big| \frac{j-1}{j+1} \Big| = \sum_j \frac{2}{j+1} = \infty. $$
Para el caso general, la condición que publiqué originalmente es más bonita que la anterior, pero podemos comprobar que son casi equivalentes:
En primer lugar, $$ 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big|^2 = \frac{|\alpha_j+i|^2 - |\alpha_j-i|^2}{|\alpha_j+i|}^2 = \frac{4\operatorname{Im} \alpha_j}{|\alpha_j+i|^2} $$ y como $$ 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big|^2 = \bigg( 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| \bigg) \bigg( 1 + \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| \bigg) $$ vemos que $$ 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| \le 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big|^2 \le 4\bigg( 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| \bigg) $$ por lo que nuestra serie converge si y sólo si $$ \sum_j 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big|^2 = \sum_j \frac{4\operatorname{Im} \alpha_j}{|\alpha_j+i|^2} $$ lo hace.
Ahora bien, esta última serie converge si y sólo si: $$ \sum_{|\alpha_j| < 1} \operatorname{Im}(\alpha_j) < \infty \quad\text{and}\quad \sum_{|\alpha_j|\ge 1} \operatorname{Im}\bigg( \frac1{\alpha_j} \bigg) < \infty, $$ así que, por ejemplo, si sólo hay un número finito de ceros en el disco unitario, la condición que publiqué originalmente es suficiente.
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Realmente no entiendo cómo consigues $g(in)=0$ ?
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Quise poner $g(z)=f(z)-e^{iz}$