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Si $f$ se define en el Medio Plano Superior y $f(in)=e^{-n},$ encontrar $f(1+i)$

Dejemos que $f$ sea una función analítica acotada en el semiplano superior. Supongamos que $f(in)=e^{-n}$ para todos $n\in \mathbb{N}$ . Encuentre $f(1+i)$ y explica por qué el valor que has encontrado es el único posible.

No sé cómo proceder. Tengo dos ideas, pero no creo que tengan ninguna esperanza. Deja que $g(z)=f(z)-e^{-z}$ . Entonces $g(in)=0$ para $n\in \mathbb{N}$ . No puedo aplicar el teorema de la identidad a $g$ ya que el punto límite de su conjunto cero es $\infty$ que no pertenece al semiplano superior.

La otra idea era aplicar la transformación de Cayley $\frac{z-i}{z+i}$ a $g$ pero en este caso el punto límite se convierte en $1$ que no pertenece a la frontera del disco unitario. En cualquiera de los dos casos, no se puede aplicar el teorema de la identidad. Se agradece cualquier aportación.

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Realmente no entiendo cómo consigues $g(in)=0$ ?

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Quise poner $g(z)=f(z)-e^{iz}$

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Tutul Puntos 652

En primer lugar, tiene una pequeña errata en su definición de $g$ . Poner $g(z)=f(z)-e^{iz}$ . Entonces $g(in)=0$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . Además $g$ está acotado en el semiplano superior, ya que $$|e^{iz}| = |e^{i(x+iy)}| = e^{-y} \le 1. $$ Lo que queda es explotar los límites de $g$ . Los ceros de una función holomorfa acotada no nula satisfacen La condición de Blaschke . Si se traslada esa condición al plano medio superior (véase por ejemplo este ) se obtiene $$ \sum_{j=1}^{\infty} \operatorname{Im}\bigg( \frac1{\alpha_j} \bigg) < \infty $$ donde $\alpha_j$ son los ceros. En tu ejemplo, la serie diverge, lo que obliga a $g$ para desaparecer idénticamente. Por lo tanto, $f(1+i)=e^{i(1+i)}$ .

Como ejercicio, demuestre que hay otras sin límites funciones que satisfacen las condiciones.


Más detalles: Lo anterior no es del todo cierto. Para el disco, la condición de Blaschke es $\sum_j (1-|\alpha_j|) < \infty$ . Utilizando la transformada de Cayley $z \mapsto (z-i)/(z+i)$ efectivamente transforma la condición en el semiplano superior en $$ \sum_j 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| < \infty. $$ Para la pregunta concreta, podemos comprobar directamente que $$ \sum_j 1 - \Big| \frac{ij-i}{ij+i} \Big| = \sum_j 1 - \Big| \frac{j-1}{j+1} \Big| = \sum_j \frac{2}{j+1} = \infty. $$

Para el caso general, la condición que publiqué originalmente es más bonita que la anterior, pero podemos comprobar que son casi equivalentes:

En primer lugar, $$ 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big|^2 = \frac{|\alpha_j+i|^2 - |\alpha_j-i|^2}{|\alpha_j+i|}^2 = \frac{4\operatorname{Im} \alpha_j}{|\alpha_j+i|^2} $$ y como $$ 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big|^2 = \bigg( 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| \bigg) \bigg( 1 + \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| \bigg) $$ vemos que $$ 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| \le 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big|^2 \le 4\bigg( 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big| \bigg) $$ por lo que nuestra serie converge si y sólo si $$ \sum_j 1 - \Big| \frac{\alpha_j-i}{\alpha_j+i} \Big|^2 = \sum_j \frac{4\operatorname{Im} \alpha_j}{|\alpha_j+i|^2} $$ lo hace.

Ahora bien, esta última serie converge si y sólo si: $$ \sum_{|\alpha_j| < 1} \operatorname{Im}(\alpha_j) < \infty \quad\text{and}\quad \sum_{|\alpha_j|\ge 1} \operatorname{Im}\bigg( \frac1{\alpha_j} \bigg) < \infty, $$ así que, por ejemplo, si sólo hay un número finito de ceros en el disco unitario, la condición que publiqué originalmente es suficiente.

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@@mrf): Señor, tengo una pregunta, sé que la condición de Blaschke en el círculo de la unidad es $\sum (1-|z_k|)<\infty$ , donde $\{z_k\}$ es la secuencia de ceros de $f$ . A partir de esta condición no pude deducir la condición para el medio plano superior, vi su sitio sugerido pero no pudo ayudarme. Si me sugieres algún otro sitio para esto, entonces es genial para mí. Por cierto, quiero saber la condición de Blaschke para la mitad derecha, la mitad izquierda y el plano de la mitad inferior.

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Desde $z\to \frac{z-i}{z+i}$ mapea el semiplano superior al círculo unitario , por lo que si utilizamos la condición de Blaschke como $\sum 1-\left|\frac{z_k-i}{z_k+i}\right|<\infty$ para el medio plano superior, ¿podemos obtener el mismo resultado? Creo que da el mismo resultado, ya que la deducción se deriva de esta transformación. Si no es así, por favor, dígame por qué no obtenemos el mismo resultado. Si obtenemos el mismo resultado entonces NO es necesario recordar las diferentes condiciones para la mitad superior, la mitad inferior,...etc

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@S.Panja-1729 No es la historia completa. Ver mi actualización.

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