Necesito para evaluar la integral de la $\displaystyle \int_{|z-i|=R}\frac{z^{4}+z^{2}+1}{z(z^{2}+1)} dz$ como una función de la $R>0$. Me pueden omitir los valores de $R$ para los que el denominador se convierte a $0$.
Ahora, el uso parcial de la fracción de descomposición, la integral se puede dividir de la siguiente manera: $\displaystyle \int_{|z-i|=R} z \,dz + \int_{|z-i|=R}\frac{1}{z}\,dz-\frac{1}{2}\int_{|z-i|=R}\frac{1}{z+i}\,dz -\frac{1}{2}\int_{|z-i|=R} \frac{1}{z-i}\,dz$
Los valores para los cuales el denominador de la no descompuesto función convierte a $0$ $R=1$ (al $R=1$, la curva se intersecta con la singularidad $z=0$) y $R=2$ (al $R=2$, la curva se intersecta con la singularidad $z=-i$).
También, como $R$ crece hasta abarcar todas las singularidades, la integral se vaya a $0$, por Cauchy Teorema.
Sin embargo, no estoy muy segura de qué hacer con este problema. He intentado realmente parametrización un cada integral, dejando $|z-i|=R$ se $z = Re^{i \theta} + i$, pero para el segundo y tercer integrales, terminé consiguiendo $\ln|0|$, que no está definido. De todos modos, esta no es la evaluación de la integral como una función de la $R$, pero como una función de la $z$ (o $\theta$).
Por favor, ayuda! Cualquier ayuda es necesaria, pero las respuestas no pueden utilizar los Residuos o de Cauchy de la Integral de la Fórmula del Teorema de Cauchy para bien o multiplicar conectado dominios está muy bien). Y yo preferiría algo completamente resueltos. Gracias.
