Necesito evaluar la integral $\displaystyle \int_{|z-i|=R}\frac{z^{4}+z^{2}+1}{z(z^{2}+1)} dz$ como función de $R>0$. Puedo omitir valores de $R$ para los cuales el denominador se vuelve $0$.
Ahora, usando descomposición en fracciones parciales, la integral se puede dividir de la siguiente manera: $\displaystyle \int_{|z-i|=R} z \,dz + \int_{|z-i|=R}\frac{1}{z}\,dz-\frac{1}{2}\int_{|z-i|=R}\frac{1}{z+i}\,dz -\frac{1}{2}\int_{|z-i|=R} \frac{1}{z-i}\,dz$
Los valores para los cuales el denominador de la función no descompuesta se vuelve $0$ incluyen $R=1$ (cuando $R=1$, la curva intersecta la singularidad $z=0$) y $R=2$ (cuando $R=2$, la curva intersecta la singularidad $z=-i$).
Además, a medida que $R$ crece para abarcar todas las singularidades, la integral se acercará a $0$, por el Teorema de Cauchy.
Sin embargo, no estoy seguro de qué hacer con este problema. Intenté parametrizar cada integral, dejando que $|z-i|=R$ se convirtiera en $z = Re^{i \theta} + i$, pero para las segundas y terceras integrales, terminé obteniendo $\ln|0|$, lo cual es indefinido. De todos modos, esto no está evaluando la integral como función de $R$, sino como función de $z$ (o $\theta$).
¡Por favor ayuda! Se necesita cualquier ayuda, pero las respuestas no pueden utilizar Residuos o la Fórmula Integral de Cauchy (el Teorema de Cauchy para dominios simplemente o múltiplemente conectados está bien). Y preferiría algo completamente resuelto. Gracias.
