Evaluar $\displaystyle \int_{|z-i|=R}\frac{z^{4}+z^{2}+1}{z(z^{2}+1)}dz$ como función de $R>0$

Question

Necesito evaluar la integral $\displaystyle \int_{|z-i|=R}\frac{z^{4}+z^{2}+1}{z(z^{2}+1)} dz$ como función de $R>0$. Puedo omitir valores de $R$ para los cuales el denominador se vuelve $0$.

Ahora, usando descomposición en fracciones parciales, la integral se puede dividir de la siguiente manera: $\displaystyle \int_{|z-i|=R} z \,dz + \int_{|z-i|=R}\frac{1}{z}\,dz-\frac{1}{2}\int_{|z-i|=R}\frac{1}{z+i}\,dz -\frac{1}{2}\int_{|z-i|=R} \frac{1}{z-i}\,dz$

Los valores para los cuales el denominador de la función no descompuesta se vuelve $0$ incluyen $R=1$ (cuando $R=1$, la curva intersecta la singularidad $z=0$) y $R=2$ (cuando $R=2$, la curva intersecta la singularidad $z=-i$).

Además, a medida que $R$ crece para abarcar todas las singularidades, la integral se acercará a $0$, por el Teorema de Cauchy.

Sin embargo, no estoy seguro de qué hacer con este problema. Intenté parametrizar cada integral, dejando que $|z-i|=R$ se convirtiera en $z = Re^{i \theta} + i$, pero para las segundas y terceras integrales, terminé obteniendo $\ln|0|$, lo cual es indefinido. De todos modos, esto no está evaluando la integral como función de $R$, sino como función de $z$ (o $\theta$).

¡Por favor ayuda! Se necesita cualquier ayuda, pero las respuestas no pueden utilizar Residuos o la Fórmula Integral de Cauchy (el Teorema de Cauchy para dominios simplemente o múltiplemente conectados está bien). Y preferiría algo completamente resuelto. Gracias.

Answer 1

Estuviste en el camino correcto utilizando la parametrización $z=i+Re^{i\theta}$, $\theta\in[0,2\pi]$. Aquí presentamos un enfoque que utiliza análisis real evaluando las partes real e imaginaria de las integrales por separado. Evaluaremos la integral $I$ dada por

$$I=\oint_{|z-i|=R}\frac{1}{z(z^2+1)}\,dz$$

y dejaremos la evaluación de la integral original como ejercicio.

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PRIMERA INTEGRAL Para la primera integral, tenemos

$$\begin{align} \oint_{|z-i|=R}\frac1z\,dz&=\int_0^{2\pi}\frac{iRe^{i\theta}}{i+Re^{i\theta}}\,d\theta\\\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{R\cos(\theta)+iR(R+\sin(\theta))}{1+R^2+2R\sin(\theta)}\,d\theta\\\\ &=\left.\left(\frac12\log(1+R^2+2R\sin(\theta)) \right)\right|_{0}^{2\pi}+i\int_0^{2\pi}\frac{R(R+\sin(\theta))}{1+R^2+2R\sin(\theta)}\,d\theta\\\\ &=0+i 2\int_0^{\pi/2}\left(\frac{R(R+\sin(\theta))}{1+R^2+2R\sin(\theta)}+\frac{R(R-\sin(\theta))}{1+R^2-2R\sin(\theta)}\right)\,d\theta\\\\ &=i2\, \left.\arctan\left(\frac{1+R\sin(\theta)}{R\cos(\theta)}\right)\right|_{0}^{\pi/2}+i2\, \left.\arctan\left(\frac{1-R\sin(\theta)}{R\cos(\theta)}\right)\right|_{0}^{\pi/2}\\\\ &=i2\,\left(\frac{\pi}{2}-0\right)+i2\,\left(\frac{\pi}{2} \,\text{sgn}(1-R)-0\right)\\\\ &=\begin{cases} 0&,R<1\\\\ i2\pi&,R>1 \end{cases} \end{align}$$

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SEGUNDA INTEGRAL

Para la segunda integral, tenemos

$$\begin{align} \oint_{|z-i|=R}\frac1{z+i}\,dz&=\int_0^{2\pi}\frac{2R\cos(\theta)+iR(R+2\sin(\theta))}{4+R^2+4R\sin(\theta)}\,d\theta\\\\ &=\left.\left(\frac12\log(4+R^2+4R\sin(\theta)) \right)\right|_{0}^{2\pi}\\\\ &+i2\, \left.\arctan\left(\frac{2+R\sin(\theta)}{R\cos(\theta)}\right)\right|_{0}^{\pi/2}+i2\, \left.\arctan\left(\frac{2-R\sin(\theta)}{R\cos(\theta)}\right)\right|_{0}^{\pi/2}\\\\ &=i2\,\left(\frac{\pi}{2}-0\right)+i2\,\left(\frac{\pi}{2} \,\text{sgn}(2-R)-0\right)\\\\ &=\begin{cases} 0&,R<2\\\\ i2\pi&,R>2 \end{cases} \end{align}$$

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TERCERA INTEGRAL

Para la tercera integral, tenemos

$$\begin{align} \oint_{|z-i|=R}\frac1{z-i}\,dz&=\int_0^{2\pi}\frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}}\,d\theta\\\\ &=i2\pi \end{align}$$

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Juntando todo, tenemos

$$\oint_{|z-i|+R}\frac{1}{z(z^2+1)}\,dz= \begin{cases} i2\pi &,R<1\\\\ i\pi&12 \end{cases}$$

Answer 2

La primera integral, $\int zdz = 0$ por lo que podemos ignorarla
Para el resto, use el hecho de que el número de vueltas de una curva cerrada $C$ alrededor de $a$ está dado por $\displaystyle \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{dz}{z-a}$

Sea $C$ el círculo $|z-i| = R$ e $I$ sea la integral que estamos calculando
Para $R \gt 0$ tenemos $$\displaystyle \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{dz}{z-i} = 1 \implies \int_C \frac{dz}{z-i} = 2\pi i$$ Para $R \lt 1$ tenemos $$\displaystyle \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{dz}{z} = 0$$ $$\displaystyle \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{dz}{z+i} = 0$$ Por lo tanto, para $R \lt 1$ tenemos $I = -\pi i$

Para $1 \lt R \lt 2$ tenemos $$\displaystyle \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{dz}{z} = 1 \implies \int_C \frac{dz}{z} = 2\pi i$$ $$\displaystyle \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{dz}{z+i} = 0$$ Por lo tanto, para $1 \lt R \lt 2$ tenemos $I = 2\pi i -\pi i = \pi i$

Para $R \gt 2$ tenemos $$\displaystyle \int_C \frac{dz}{z} = 2\pi i$$ $$\displaystyle \int_C \frac{dz}{z+i} = 2\pi i$$ Por lo tanto, para $R \gt 2$ tenemos $I = 2\pi i -\pi i -\pi i = 0$