¿Cuál es el mayor número natural que divide $(p+3)(p-7)$, donde $p$ es un número primo mayor que $3$?

Question

Cual es el mayor número natural que definitivamente se divide $(p+3)(p-7)$ donde $p$ es un número primo mayor que $3$?

Este es uno de mis módulo, se presenta como un relleno de espacios en blanco que no tiene respuesta. Tengo la sensación de que hay algo mal con esta pregunta, ya que para $p=5$, uno ha $(p+3)(p-7)=-16$.

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AÑADIÓ:

Como se mencionó, en una respuesta que he probado sustituyendo $p=5,7,9,11,13,17,19,...$ y descubrió que el mayor número de es $8$. Me pregunto .. ¿hay alguna otra manera (probablemente mediante módulo) para encontrar este número sin llegar a sustituir ?

Answer 1

Tengo la sensación de que hay algo mal con esta pregunta

La "mayor que $3$" condición es un poco extraño, porque la respuesta es sin cambios si $p=3$ es permitido. Y que si querían excluir los valores negativos de $(p+3)(p-7)$, debe decir "mayor que 7". Pero la pregunta tal y como está es técnicamente correcta. Tal vez sería mejor así:

Cuál es el mayor número natural que divide $(p+3)(p−7)$ para cada número primo impar $p$?

Si $p$ es impar, entonces $p = 2k+1$ algunos $k$. Por lo $(p+3)(p-7) = (2k+4)(2k-6) = 4(k+2)(k-3)$, el cual es divisible por $8$ desde uno de $k+2, k-3$ debe ser par. Por lo $8$ divide $(p+3)(p−7)$ para cada número primo impar $p$.

Eso es la mitad de la pregunta. La otra mitad es que no hay ningún número natural $n > 8$ divide $(p+3)(p−7)$ para cada número primo impar $p$. Tenga en cuenta que si $n$ tiene esta propiedad, entonces también lo hace cada factor de $n$. Por lo que es suficiente para demostrar que (i) $16$ no tiene esta propiedad; y (ii) no extraño prime $q$ tiene esta propiedad.

Para mostrar que $16$ no tiene esta propiedad, sólo hay que poner $p=11$. Así que supongamos ahora que $q$ es una extraña prime. Necesitamos producir otra extraña prime $p$ que no es igual a $q-3 \pmod q$ y no es igual a $7 \pmod q$. Entonces podemos estar seguros de que $q$ no divide $(p+3)(p-7)$. Me parece un poco como demasiado para mí, pero nos puede el uso del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas para esto: para coprime $a$$q$, la progresión aritmética $a + rq$ $(r = 0, 1, 2,...)$ contiene una infinidad de números primos. Así que sólo tenemos que elegir a $a$ $1 \le a \le q-1$ que no es igual a $q-3 \pmod q$ y no es igual a $7 \pmod q$. Si $q=3$, se puede elegir $a=2$; y si $q \ne 3$, se puede elegir $a=3$.

Y hemos terminado.

Answer 2

No hay nada malo con la pregunta.

Usted está buscando un número natural. Sabe usted divide $(p+3)(p-7)$. Y usted puede poner en algunos primos en esa ecuación, como ya ha hecho - usted tiene $-16$. ¿Qué pasa si nos atenemos en $p=11$? ¿O $p=13$?

OK, ahora que has identificado el número natural. ¿Ves por qué el producto es siempre divisible por ese número?

pista de la palabra: modulo

Answer 3

% Toque $\ \rm\:d\ |\ f_p = (p+3)\:(p-7)\ \Rightarrow\ d\ |\ f_5,\:f_7,f_{11}\: =\:\: -16,\:0,\:56\ \Rightarrow\ d\ |\ gcd(16,56) = 8\:.\:$por el contrario

$\ $mod $8$, desde odd ^ 2 $\equiv 1\:,\:$ tenemos $\rm\ f_p\equiv (p+3)(p+1)\: \equiv\: p^2+4\:p+3 \:\equiv\: 4\:(p+1) \:\equiv\: 0$

Generalmente para una secuencia de satisfacer una monic $\rm\:n\:$ th orden recurrencia lineal con coeficientes enteros uno fácilmente demuestra por inducción que el MCD de todos los términos es el m.c.d de los términos de $\rm\:n\:$ primera, puesto que los términos sucesivos son combinaciones lineales de enteros de la primera $\rm\:n\:$términos de % para que no cambian el gcd.

Answer 4

Observar que $(5+3)(5-7) = -16$$(11+3)(11-7) = 56$; estos tienen más común múltiplo de 8. Así que la respuesta debe ser algún factor de 8. Si usted tratando de mantener la más números que usted verá parece ser 8.

Cómo demostrarlo? $p$ es impar. Por lo $p+3$ $p-7$ son números que se diferencian por 10. Deje $p = 2n+7$; a continuación, queremos demostrar que para cualquier entero $n$, $2n(2n+10)$ es divisible por 8. Pero podemos reescribir esto como $4n(n+5)$, por lo que sólo es necesario demostrar que la $n(n+5)$ es siempre igual; $n$ es par o $n+5$ es.

Un reto para usted, para ayudarle a entender lo que está pasando aquí: demostrar de una manera similar que para cada entero $n$, $n^3-n$ es un múltiplo de 6 y $n^5-n$ es un múltiplo de 30.

Answer 5

Si $p$ es un número primo puede ser escrito $p=4a+1$ o $p=4a+3.$

La sustitución de la primera de estas da
$$(p+3)(p-7)=p^2-4p-21 = 16a^2+8a+1-16a-4-21 = 16a^2-8a-24 = 8(2a^2-a-3)$$
y el otro da $$(p+3)(p-7)=p^2-4p-21 = 16a^2+24a+9-16a-12-21 = 16a^2+8a-24 = 8(2a^2+a-3)$$
y por lo $(p+3)(p-7)$ es divisible por $8$ cualquier manera.

Editar
Para mostrar que el 8 es el más grande divisor, debemos mostrar que $2a^2-a-3$ no es divisible por el mismo primer para todos los valores de $a$. Establecimiento $a=4\text{ and }5$ produce el 25 y 42, respectivamente, que no tienen factores primos comunes.

Y también debemos mostrar que $2a^2+a-3$ no es divisible por el mismo primer para todos los valores de $a$. Establecimiento $a=4\text{ and }5$ nuevo produce 33 y 52, respectivamente, que también no tienen factores primos comunes.