Sobre la definición de $(\epsilon,\delta)$ rigurosa de límite

Question

Tengo preguntas acerca de la completa y rigurosa $(\epsilon,\delta)$ definición de los dos límites laterales. La definición de los dos lados del límite en http://en.wikipedia.org/wiki/(%CE%B5,_%CE%B4)-definition_of_limit dice que para una función de $f(x)$, la cual es definida en un intervalo abierto que contiene a $c$, posiblemente excluyendo $c$ $\lim_{x \to c} f(x)=L$ fib hay algunos $\delta > 0$ por cada $\epsilon > 0$ tal que para cada a$x$, lo que proporciona a $0 < |x - c| < \delta$ es $|f(x) - L| < \epsilon$.

Mi primera pregunta es sobre el "intervalo abierto", que se dijo al principio. Si asumimos que el $f(x)$ está definida en un intervalo abierto $I$ que contiene $c$, no el de la definición de estado que "por cada $x \in I$, lo que proporciona a $0 < |x - c| < \delta$" en vez de decir "para cada $x$, lo que proporciona a $0 < |x - c| < \delta$" con el fin de limitar $x$ con intervalo de $I$ de nuestra selección?

Mi segunda pregunta es acerca de la interpretación de la definición anterior. Digamos que el $f(x)$ como en el dibujo siguiente:

Aquí, la función es continua, definida en un intervalo abierto $(A,B)$$a \in (A,B), c \in (A,B)$$b \in (A,B)$$|a-c|>|c-b|$. Una selección válida para $\delta $ $\delta = |c-b|$ tal que para cada a$x$$0 < |x-c| < |c-b|$$|f(x) - f(c)| <\epsilon$.

Pero si tenemos el siguiente $f(x)$ lugar:

que es el mismo que el primero, pero el dominio de $f$ $(A,a)$ este tiempo y se $|c-b| > |a-c|$. Mi pregunta es, en este caso, puede $|b-c|$ válido $\delta$ valor, ya que de nuevo para cada $x$, lo que proporciona a $0 < |x-c| < |b-c|$ tenemos $|f(x) - f(c)| < \epsilon$. Pregunto esto porque yo solía pensar de esta definición, siempre para las funciones definida en toda la recta real y esto hace que uno cree que debería tener intervalos de la misma longitud en torno a $c$, lo que proporciona a $|f(x)-L|$ donde $L$ es un límite general de valor. Pero en el segundo boceto, este no es el caso.

Answer 1

1. Por supuesto que sí. Sólo requerimos la función de $ f $ a ser definida en el conjunto $ I $, por lo que no tiene sentido hablar de $ f(x) $ cualquier $ x $ fuera de $ I $.

2. Para la segunda función y el $ \epsilon $, $ \delta = \left| c - b \right| $ es de hecho una opción válida de $ \delta $ y esto se deduce de la adición de "$ x \in I $" a la definición. En la práctica, sin embargo, podría ser conveniente elegir un menor $ \delta $ para algunas funciones, porque entonces usted no necesita considerar lo que sucede en el límite de $ I $.

Las dos funciones que has dibujado tienen diferentes dominios y por lo tanto son consideradas diferentes funciones. Esto significa que cuando se trata con la segunda función, usted no necesita preocuparse acerca de lo que el "resto de la función" parece (y, por supuesto, usted podría extender la segunda función que es y se ve diferente de la primera).

Answer 2

Los valores de $\delta$ comparable a la distancia de $c$ a los extremos de $I$ son irrelevantes y no afectan a la propiedad de continuidad de la función. De hecho, podría ser incorporado en la definición de que la $\delta$ debe ser lo suficientemente pequeño en este sentido. No iba a hacer ninguna diferencia, de hecho, si nos requieren $\delta$ a menos de una millonésima parte de la distancia a los puntos de límite.

Para hacer este punto más aún, es útil tener en mente que el cuantificador definición de continuidad que usted está viendo es una (un poco ventoso) paráfrasis de Cauchy de la definición original de la continuidad de la $f$, que dijo que si $x$ es infinitamente cercana a $c$ $f(x)$ es infinitamente cercana a $f(c)$ (asumiendo, por supuesto, que $f$ se define en $c$).

Otra forma de decirlo es que si $x-c$ es infinitesimal, a continuación, $f(x)-f(c)$ es infinitesimal, y usted no necesita cuantificadores.

Una vez que usted entienda la intuición detrás de este concepto será más fácil entender los tecnicismos de la epsilon, definición de delta.

En este sentido, sólo la "pequeña" de los valores de $\delta$ son relevantes, aunque la definición oficial no dice nada acerca de esto.

Al final del siglo 19 personas fueron nervioso acerca de infinitesimals y, que no pueden justificar ellos rigurosamente, que sustituyó a Cauchy de la definición original por la que usted está viendo. Sin embargo, hace 60 años infinitesimals finalmente fueron justificados con rigor, por lo que no tienes que ocultar de Cauchy definición más (a excepción de su profesor :-) ).