Esto demuestra ser ahora una misión improbable.

Question

Deje $1 \leq p < q \leq \infty$$x \in\mathbb{R}^n$. Mostrar que $\|x\|_q \leq \|x\|_p \leq n^\frac{1}{p}\|x\|_q$ donde $\|x\|_p$ es la métrica $\left(\sum_{j=1}^n{|x_j|^p}\right)^\frac{1}{p}$.

Una sugerencia: "Por el lado izquierdo de la desigualdad hacer primero el caso en que $\|x\|_p = 1$, y para el lado derecho de la desigualdad hacer primero el caso de $\|x\|_q = 1$." Así que primero me puse a $\|x\|_p = 1$ y consiguió $\sum_{k = 1}^n|x_k|^q \leq 1 \leq n^\frac{q}{p}\sum_{k = 1}^n|x_k|^q$. Esto tiene sentido ya que los $\frac{q}{p} > 1$.

Dejé este y utiliza la otra mitad de la pista; que considera la desigualdad de nuevo y establezca $\|x\|_q = 1$ obtener $1 \leq \sum_{k = 1}^n|x_k|^p \leq n$. No estoy muy seguro de lo que esta desigualdad de medios.

Mi pregunta es, cómo extender estas dos desigualdades a la más general de los casos donde $\|x\|_p, \|x\|_q \neq 1$? Y ¿cómo puedo hacer que mis dos resultados se relacionan entre sí, ya que parecen ser dos completamente diferentes casos? Tal vez esta pregunta es más simple de lo que yo estoy haciendo y yo no podría estar redacción mí mismo claramente, pero una vez que entiendo el principio general detrás de las desigualdades como esta voy a ser capaz de hacer más complejo en el mío propio.

Answer 1

Nota: La sugerencia es que usted debe considerar el caso especial $\lVert x\rVert_p = 1$ con el fin de demostrar que, en ese caso, usted tiene $$\lVert x\rVert_q \leq \lVert x\rVert_p,$$ ignorando la segunda desigualdad; y luego, por separado, que considera el caso de $\lVert x\rVert_q=1$ a demostrar que en ese caso $$\lVert x\rVert_p \leq n^{1/p}\lVert x\rVert_q,$$ ignorando la primera desigualdad

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Primero: ¿Cómo se puede demostrar en estos casos especiales?

Supongamos primero que $\lVert x\rVert_p = 1$, por lo que $$\sum_{j=1}^n|x_i|^p = 1.$$ Eso significa que $0\leq |x_i|\leq 1$ todos los $i$, y desde $q\gt p$, luego $$0\leq |x_i|\leq 1\Rightarrow 0\leq |x_i|^q \leq |x_i|^p \leq 1.$$ Por lo tanto $\sum |x_i|^q \leq \sum |x_i|^p =1$, y teniendo en $q$th raíces a la conclusión de que $\lVert x \rVert_q \leq 1 = \lVert x\rVert_p$.

Trate de algo a lo largo de esas líneas para la segunda desigualdad, a partir de la suposición de que $\lVert x \rVert_q =1$.

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Segundo: ¿cómo se puede extender al caso especial para el caso general?

Debido a un arbitrario $x\neq \mathbf{0}$, vamos a $\lambda=\frac{1}{\lVert x\rVert_p}$. Si ya sabes la desigualdad cuando el $p$-la norma es $1$, entonces usted sabe que $$\lVert \lambda x \rVert_q \leq \lVert \lambda x \rVert_p,$$ puesto que el $p$-norma de $\lambda x$$1$. Pero desde $\lambda$ es un escalar positivo, esto es equivalente a $$\lambda\lVert x \rVert _q \leq \lambda \lVert x\rVert_p,$$ y la cancelación de $\lambda$ da la deseada desigualdad arbitraria $x\neq\mathbf{0}$.

Una similar truco funciona para la segunda desigualdad. Y, por supuesto, la desigualdad tiene trivialmente si $x=\mathbf{0}$.