Dos separe las plazas están ubicados dentro de un cuadrado de lado a $1$. Si las longitudes de los lados de las dos plazas son $a$$b$, demuestran $a+b \leq 1$.
Pensé sobre la configuración de ejes de coordenadas con el vértice de la izquierda de la plaza, en el origen. A continuación, voy a tener que demostrar que la suma de las longitudes de los lados es menor o igual a$1$, mientras que las dos plazas de ser distinto, y aún en el interior de la plaza. Aquí es donde me quedo atascado.
NOTA: por Desgracia, mis consejos sólo funciona si usted asume el interior de plazas "lados son paralelos al exterior plazas" lados. Voy a tratar de encontrar alguna manera de probar esto si no se supone que.
Digamos que el cuadrado de área $1$ es de$(0, 0)$$(1, 1)$. Entonces, digamos que el cuadrado de lado de longitud $a$ es de$(l_a, h_a)$$(l_a+a, h_a+a)$. También, del mismo modo, digamos que el cuadrado de lado de longitud $b$ es de$(l_b, h_b)$$(l_b+b, h_b+b)$. Un punto de $(x_0, y_0)$ está dentro del cuadrado de lado de longitud $a$ si y sólo si $l<=x_0<=l+a$$h<=y_0<=h+a$. Puesto que el cuadrado de lado de longitud $b$ es discontinuo con esta plaza, esto significa que $l_b > l_a+a$ o $l_b+b < l_a$ o $h_b > h_a+a$ o $h_b+b < h_a$.
También, desde todos estos puntos deben estar dentro de la original de la plaza, sabemos que todas estas coordenadas deben estar en $[0, 1]$. Desde el máximo de la diferencia de dos números en $[0, 1]$$1-0=1$, sabemos que la diferencia de cualquiera de las dos coordenadas también debe ser menor o igual a $1$.
Ahora tiene cuatro casos en los que demostrar su teorema. Para cada caso, tratar de restar el máximo de x o y coordinar, desde el mínimo de x o y coordenadas de ambos cuadrados y, a continuación, muestra que esta diferencia sea menor o igual a $1$, $a+b \leq 1$. Por ejemplo, para el primer caso, el máximo de la coordenada x es $l_b+b$ y el máximo de la coordenada y es $l_a$, así que trate de usar $(l_b+b)-l_a \leq 1$ a demostrar el teorema. El uso de la desigualdad desde el primer caso ($l_b > l_a+a$) para deshacerse de $l_b$ de la desigualdad, de manera que el $l_a$s se anulan. Hacer algo similar para cada caso.
Espero que estas sugerencias le ayudan!
[ NOTA: esta es una gran edición de la respuesta original, que corrige una suposición equivocada y añade algo más de detalle. ]
Aquí está el esquema de una prueba. Las plazas serán considerados como "bloques abiertos", es decir, no incluyendo sus fronteras, lo que permite un vértice de un cuadrado que se acueste sobre el lado de la otra, o las dos caras de plazas diferentes a la superposición y aún así ser disjuntas. (Con la interpretación alternativa de los cuadrados como "conjuntos cerrados" la desigualdad se convertiría en una estricta $a + b \lt 1$.)
La prueba se basa en las siguientes dos proposiciones.
(1) Una línea que puede ser dibujado que separa las plazas en diferentes medios planos.
Esto se desprende de la declaración general acerca de la separación de cuerpos convexos en un n-dimensional espacio Euclidiano conocido como el Hyperplane separación teorema:
si ambos conjuntos convexos disjuntos son abiertos, entonces hay una hyperplane entre ellos
En el 2-dimensional caso, la hyperplane es simplemente una línea recta, y una posible línea es en realidad la separación de bitangent (tangente común) de las dos zonas convexas.
(2) Vamos a $\Delta ABC$ ser un triángulo rectángulo con el ángulo recto en $A$. La plaza más grande "inscrito" en $\Delta ABC$ tiene un vértice en $A$, dos lados a lo largo de las piernas $AB, AC$, e $AA'$ como diagonal, donde $A' \in BC$ es el pie de la bisectriz a través de $A$.
Para un triángulo arbitrario (no necesariamente un derecho ), se puede demostrar que la mayor inscritos plaza tiene dos vértices en uno de los lados del triángulo, y (al menos) uno de los otros vértices en otro lado. También puede ser demostrado que el lado del cuadrado es $\frac{a h}{a + h}$ donde $a$ es la longitud del lado donde la plaza se "sienta" y $h$ es la longitud de la altura correspondiente. Esto está demostrado por ejemplo en la Máxima área de un cuadrado en un triángulo.
En el caso de un triángulo rectángulo, sólo hay dos candidatos, tales plazas, una "sentada" en ambas piernas, el otro, sobre la hipotenusa.
Deje $a, b, c$ ser las longitudes de los lados, y $h$ de la longitud de la altura a través de $A$. A continuación, la fórmula general da a los lados de los cuadrados como $\frac{b c}{b + c}$ $\frac{a h}{a + h}$ respectivamente. Para concluir la prueba, queda demostrado que:
$$ \frac{b, c}{b + c} \ge \frac{h}{a + h} $$
Tomando nota de que $b c = a h = 2 S$ donde $S$ es el área del triángulo, y $h = \frac{b c}{a}$, la desigualdad se reduce a:
$$ a + \frac{b, c}{a} \ge b + c \\ a^2 - a (b + c) + b c \ge 0 \\ (a - b) (a - c) \ge 0 $$
Desde $a \ge b, c$ la última desigualdad se cumple, y la proposición (2) por lo tanto está demostrado.
Ahora, volviendo a la pregunta en el punto aquí. Por la proposición (1) hay una línea que separa los dos cuadros internos, por ejemplo:
Si la línea que las separa es paralela a uno de los lados de la plaza exterior, entonces cada cuadrado interior puede estar inscrito en uno más grande, con lados paralelos a los exteriores de la plaza de los bordes, y los dos recién construido plazas lados que, obviamente, se suman a $\le 1$ de lo que se deduce que el $a + b \le 1$.
Si la línea que las separa no es paralelo a ninguno de los exteriores de la plaza de los lados, luego se cruzan todos ellos - dos de forma interna (dentro de los segmentos adyacentes de la plaza exterior) y dos externamente. De esta forma dos de ángulo recto triángulos compartir parte de la hipotenusa, cada una de ellas contiene uno de los cuadros internos. De la proposición (2) cada uno de los cuadros internos debe ser menor que el correspondiente dibujada en rojo, en cuyos lados obviamente agregar a a $1$, por lo que de nuevo se deduce que $a + b \le 1$, lo que concluye la prueba.
(Este último dibujo muestra el caso cuando la línea que las separa se cruza con dos enfrente de los bordes de la plaza exterior. El diseño es ligeramente diferente en el otro caso, cuando se cruza con dos adyacentes bordes, pero la misma construcción y el mismo argumento se aplica en ese caso.)
P. S. tengo un poco de curiosidad acerca de los antecedentes/contexto de esta pregunta, ya que no tiene el aspecto de un run-of-the-mill ejercicio.
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