La convergencia en probabilidad

Question

Si $X_1, X_2, \ldots$ convergen en probabilidad a una constante $c$, entonces el no $1-X_1, 1-X_2, \ldots$ convergen en probabilidad a $1-c$? Es allí una manera de mostrar esto es verdad / es que hay una ya existente teorema para esto?

Answer 1

Si $X_n$ converge en probabilidad a una constante $c$, esto significa que

$$\forall \epsilon \in \mathbb{R}^+_0 : \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n-c|>\epsilon) = 0 \; .$$

Si reescribir:

$$|X_n - c| = |c-X_n| = |c-1+1-X_n| = |(1-X_n)-(1-c)| \; ,$$

a continuación, puede ver que $1-X_n$ también converge en probabilidad a $1-c$.

Answer 2

Si $g$ es cualquier función continua, y $X_n \to X$ de probabilidad, a continuación, $g(X_n) \to g(X)$ en la probabilidad. Esto es a veces llamada la asignación continua teorema.