El de Hahn-Banach teorema de Hilbert espacios de la siguiente manera a partir del teorema de Riesz

Question

¿Cómo el de Hahn-Banach teorema de Hilbert espacios seguir a partir de la representación de Riesz teorema?

Answer 1

Sí. Dado un subespacio $M$ de un espacio de Hilbert $H$, y un continuo lineal funcional $f : M \to \mathbb{C}$, se puede extender $f$ a un único continuo lineal funcional $g : \overline{M} \to \mathbb{C}$.

Ahora, $\overline{M}$ es un espacio de Hilbert, no es $y \in \overline{M}$ tal que $$ g(x) = \langle x, y\rangle $$ para todos los $x\in \overline{M}$.

Ahora escribo $h : H \to \mathbb{C}$ $x \mapsto \langle x, y\rangle$ y esto se extiende $f$.