Solución a un molesto ODE

Question

Siento mucho si este es un duplicado, pero la búsqueda de un determinado ecuación es bastante difícil. Me he encontrado con la siguiente ODA durante mi investigación de la física (PDE que tiene una similitud solución), y me preguntaba si había alguna posibilidad de obtener una solución analítica: \begin{equation} x y' = -2(A(y) y')' ,\end{equation} para$y(x)$$y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$, sólo para ser claros.

$A(y) = 1-\zeta y(4-3y)$ $\zeta \ge 0$ , aunque sospecho que si nos encontramos invocando que le probable que ya hayas fallado, así que tal vez tratar $A(y)$ como ser genérico, por ahora. He jugueteó un rato con él, pero sin mucho éxito. En términos de condiciones de frontera, pues están en juego, era la esperanza de que la solución podría contarme un poco más sobre ellos; físicamente $0 \le y \le 1$, y probablemente, como para prescribir condiciones de Dirichlet en cualquiera de los lados de un determinado dominio. Si ayuda, llegué a esta ecuación usando esto: https://arxiv.org/pdf/0710.4000.pdf , alrededor de la página 5.

Por supuesto, asintótico de las soluciones como $x\rightarrow 0$ o $x\rightarrow \pm \infty$ también sería muy fresco, como un consejo acerca de cómo abordar numéricamente si la solución analítica de los intentos de resultar infructuoso.

Answer 1

He encontrado un par de datos adicionales, por lo que también voy a incluir lo que se menciona en los comentarios a continuación:

Caso 1: $y=const.$ es una solución para cualquier constante, por lo que omitimos esta solución en lo que sigue.

(Corrección a mi comentario anterior: $y(x)=ax+b$ es no una solución si $a,b\neq 0$)

Caso 2: si $\zeta=0$,$y''(x)=-x y'(x)/2$, e $y(x)=a+b\text{ erf}(x/2)$ donde $\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-t^2}dt$, e $a,b=const.$

Caso 3: Supongamos ahora $\zeta\neq 0$. Poner $\mu=-4+\frac{3}{\zeta}\in(-4,\infty)$, y el cambio de las variables mediante el establecimiento de $$ y(x)=\frac{2+z\left(\sqrt{\frac{3}{2\zeta}}x\right)}{3}. $$ A continuación, $z$ soluciona $$ \frac{d}{dt}[(z^2+\mu)z'(t)]+z'(t)=0. $$

Caso 4: $\mu=0$ ($\zeta=3/4$). En este caso, tenemos el ODE $$ \frac{d}{dt}[z^2z'(t)]+z'(t)=0, $$ cual es la dilatación invariantes bajo $t\mapsto at$, $z\mapsto az$. En consecuencia, si partimos $z(t)=t\,u(\ln|t|)$$u'(s)=w(u(s))$, se obtienen los siguientes de primer orden de la educación a distancia para $w(u)$:

$$ w'(u)=-\frac{1}{2}\left(\frac{w^2+u^2}{uw}+\frac{u+w}{u^2}+\frac{5}{2}\right), $$

que Mathematica no podía resolver, por desgracia.

Caso 5: $\mu>0$ ($0<\zeta<3/4$). Poner a $z(t)=\mu^{1/2}w(t)$ da $$ \frac{d}{dt}[(w^2+1)w'(t)]+tw'(t)=0. $$

Caso 6: $\mu<0$ ($\zeta>3/4$). Poner a $z=(-\mu)^{1/2}w$ da $$ \frac{d}{dt}[(w^2-1)w'(t)]+tw'(t)=0. $$

A diferencia del Caso 4, las ecuaciones de los Casos 5 y 6 no tienen evidente simetrías, de manera analítica, la integración parece imposible para ellos. Sin embargo, podemos tratar de análisis asintótico. Sólo haré un análisis en $w$, dado que el análisis en $x$ está involucrado.

Caso A: $|w|\ll 1$. Esto se aplicará para ambos Casos 5 y 6. Establecimiento $w=\epsilon f_0+\epsilon^2 f_1+\cdots$ y dejando $\epsilon\to 0$, queremos $f_0$ resolver $$ \pm f_0"(t)+tf_0'(t)=0, $$ donde $+$ es el Caso 5, y es el Caso 6. La solución es $f_0(t)=a+b \text{ erf}(t/\sqrt{2})$ si $+$, e $f_0(t)=a+b \text{ erfi}(t/\sqrt{2})$ si $-$. Tenga en cuenta que el último de los golpes hasta en el infinito. En cualquier caso, $$ w(t)=\epsilon f_0(t)+O(\epsilon^2) $$ es una solución como $\epsilon\to 0$ donde $\epsilon$ es arbitraria pequeño parámetro del mismo orden de magnitud que la condición inicial $w(0)$.

Tenga en cuenta que esto es válido para todos los $\zeta$ considera que, desde el $\epsilon$ no depende de $\zeta$.

Caso B: $|w|\gg 1$. Este recupera Caso 4. Así que si usted puede resolver esta $\zeta=3/4$ ecuación de, digamos, numéricamente, entonces usted obtener soluciones para todos los demás valores de $\zeta$, siempre que se cumplan $|w|\gg 1$.

Caso C: $|w|\approx 1$, e $\mu<0$ (es decir, Caso 6). La idea es hacer que el coeficiente de $w^2-1$ se desvanecen. Poner $w(t)=1+\epsilon f_0(\epsilon^{-1/2}t)+\epsilon^2 f_1(\epsilon^{-1/2}t)+\cdots$ y deje $\epsilon\to 0$: $$ \frac{d}{ds}[2f_0(s)f_0'(s)]+sf_0'(s)=0. $$ Este es invariante bajo la dilatación $s\mapsto as$, $f_0\mapsto a^2f_0(s)$, así que podemos poner $f_0(s)=s^2 g(\ln|s|)$, $g'(r)=h(g(r))$ como antes, y obtener un primer fin de la educación a distancia para $h=h(g)$. (Mathematica no podía resolver esta bien).

De todos modos, espero que algo de esta ayuda. No puedo prometer lo anterior es error tipográfico, por lo tanto, me gustaría comprobar Caso por sí mismo, ya que esto podría ser de alguna utilidad.