Si $|G|=p^n$,$p^2 \le |G : G^\prime|$.

Question

Demostrar que, si $G$ ser un p-grupo de orden $p^n$, $p^2 \le |G : G^\prime|$ donde $G^\prime$ es el colector de un subgrupo de $G$$n \ge 2$.

Answer 1

Por [ Grupo de orden $p^{n}$ normal tiene subgrupos de orden $p^{k}$] $G$ tiene un subgrupo normal $H$$|H|=p^{n-2}$. Por lo $|G/H|=p^2$, por lo tanto $G/H$ es Abelian. Por lo tanto $G^\prime \le H$. Por lo $|G^\prime| \le p^{n-2}$. Se completa la prueba.

Answer 2

Con la clase conjugacy ecuación se puede demostrar que es $G$ si $p$ -, $Z(G)$ no es trivial. También, es bien sabido que si $G/Z(G)$ es cíclico, a continuación, $G$ debe ser abelian, y entonces no hay nada que probar, por lo que podemos asumir que $|G/Z(G)| \geq p^2$. Ahora el uso de la inducción en $|G|$ y considerar la posibilidad de $G/Z(G)$: de ahí que $|G/Z(G):(G/Z(G))'| \geq p^2$. Pero, $(G/Z(G))'=G'Z(G)/Z(G)$. Por lo $|G:G'Z(G)| \geq p^2$. Desde $|G:G'Z(G)|$ divide $|G:G'|$, la prueba está completa.