Demostrar que, si G ser un p-grupo de orden pn, p2≤|G:G′| donde G′ es el colector de un subgrupo de Gn≥2.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Por [ Grupo de orden pn normal tiene subgrupos de orden pk] G tiene un subgrupo normal H|H|=pn−2. Por lo |G/H|=p2, por lo tanto G/H es Abelian. Por lo tanto G′≤H. Por lo |G′|≤pn−2. Se completa la prueba.
Con la clase conjugacy ecuación se puede demostrar que es G si p -, Z(G) no es trivial. También, es bien sabido que si G/Z(G) es cíclico, a continuación, G debe ser abelian, y entonces no hay nada que probar, por lo que podemos asumir que |G/Z(G)|≥p2. Ahora el uso de la inducción en |G| y considerar la posibilidad de G/Z(G): de ahí que |G/Z(G):(G/Z(G))′|≥p2. Pero, (G/Z(G))′=G′Z(G)/Z(G). Por lo |G:G′Z(G)|≥p2. Desde |G:G′Z(G)| divide |G:G′|, la prueba está completa.